2021高考数学一轮复习 第三章 一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及运算课件

第三章一元函数的导数及其应用第1节导数的概念及运算课程标准考情索引核心素养1.了解导数概念的实际背景，知道导数是瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限的思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的导数).2019·全国卷Ⅰ，T132019·全国卷Ⅲ，T62019·江苏卷，T112018·全国卷Ⅱ，T132018·全国卷Ⅲ，T141.数学运算2.直观想象1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．(2)函数f(x)的导函数．函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2.3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx．()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．()解析：(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率，(1)错．(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错．(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A选修2－2·习题改编)已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()A．2x－y＋1＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0D．x＋2y－2＝0解析：由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，所以f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案：A3．(人A选修2－2·习题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝__________m/s2.解析：v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案：－9.8t＋6.5－9.8[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，所以f′(π)＝－2.所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.答案：C5．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．解析：因为f(x)＝exlnx，所以f′(x)＝exlnx＋exx，所以f′(1)＝e.答案：e6．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．解析：因为y′＝(ax＋a＋1)ex，所以当x＝0时，y′＝a＋1，所以a＋1＝－2，得a＝－3.答案：－3考点1导数的运算(多维探究)角度根据求导法则求函数的导数[典例1]求下列函数的导数．(1)f(x)＝x2＋xex；(2)f(x)＝x3＋2x－x2lnx－1x2；(3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.解：(1)f′(x)＝（2x＋1）ex－（x2＋x）ex（ex）2＝1＋x－x2ex.(2)由已知f(x)＝x－lnx＋2x－1x2.所以f′(x)＝1－1x－2x2＋2x3＝x3－x2－2x＋2x3.(3)因为y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，所以y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.角度抽象函数的导数[典例2]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f(1)＝________．解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋12，则f′(2)＝－94.所以f(1)＝1＋3×1×－94＋0＝－234.答案：－2341．求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．1．(角度1)(2020·日照一中月考)已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2.则a＝________．解析：由f(x)＝(x2－a)lnx，得f′(x)＝2xlnx＋x2－ax.所以f′(1)＝1－a＝－2，解得a＝3.答案：32．(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln1x，则f(1)＝()A．－eB．2C．－2D．e解析：由已知得f′(x)＝2f′(1)－1x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.答案：B考点2导数的几何意义(自主演练)1．(2020·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝1－2lnxx在点P(1，f(1))处的切线l的方程为()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝0解析：因为f(x)＝1－2lnxx，所以f′(x)＝－3＋2lnxx2.所以f(1)＝1，且f′(1)＝－3.故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.答案：D2．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e)．再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1)．答案：(e，1)3．(2020·佛山调研)若曲线y＝alnx＋x2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，则a＝()A.124B.38C.34D.32解析：因为y＝alnx＋x2(a0)，所以y′＝ax＋2x≥22a.因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2.则斜率k≥3，因此3＝22a，所以a＝38.答案：B4．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．解析：设切点P的横坐标为x0(x00)，因为函数y＝ex的导函数为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x00)，因为函数y＝1x的导函数为y′＝－1x2，所以曲线y＝1x(x0)在点P处的切线的斜率k2＝－1x20，由题意知k1k2＝－1，即1·－1x20＝－1，解得x20＝1，又x00，所以x0＝1.又因为点P在曲线y＝1x(x0)上，所以y0＝1，故点P的坐标为(1，1)．答案：(1，1)1．求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若切线垂直于x轴，则切线方程为x＝x0.2．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点是解题的关键．考点3导数几何意义的应用(讲练互动)[典例1](2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.因为已知切线方程为y＝2x＋b，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.答案：D[典例2](2020·泉州质检)若曲线y＝x2与y＝alnx(a≠0)存在公共切线，则实数a的取值范围是()A．(0，2e]B．(0，e]C．(－∞，0)∪(0，2e]D．(－∞，0)∪(0，e]解析：设曲线y＝x2的切点坐标为(x0，x20)，则切线方程为y＝2x0x－x20.设y＝alnx的切点为(x1，alnx1)，该切线方程为y＝ax1x－a＋alnx1.由于两曲线有相同的公切线，因此ax1＝2x0，－x20＝alnx1－a，消去x0，得a＝4x21－4x21lnx1.设g(x)＝4x2－4x2lnx，g′(x)＝4x－8xlnx，得到g(x)在(0，e12)递增，在(e12，＋∞)递减，故g(x)最大值为2e.又x→＋∞时，g(x)→－∞；当x→0时，g(x)→0，所以a的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e]．答案：C1．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．2．利用导数的几何意义求参数的取值范围，要重视转化、化归思想的应用．1．(2020·东莞检测)已知函数f(x)＝ex＋ax－1的图象与x轴相切，则a＝()A．－1B．0C.12D．1解析：设切点坐标为T(m，0)．由f′(x)＝ex＋a，得f′(m)＝em＋a＝0，则a＝－em.又f(m)＝em＋am－1＝0，所以em－em·m－1＝0，则em＝11－m，从而可得m＝0，所以a＝－em＝－1.答