2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.2全等三角形的判定 1-2全等三角形的判定条件

1.全等三角形的判定条件2.边角边1.全等三角形的判定条件(1)对两个三角形来说，六个元素(三条边，三个角)中至少要有_____元素分别对应相等，两个三角形才可能全等.(2)两个三角形有3组对应相等的元素，那么所含有的四种情况是：_____、_____、_________、_________.三个三边三角两边一角两角一边2.两边一角对应相等的两个三角形的关系探究:(1)先任意画出一个△ABC,再画出一个△A′B′C′，使AB=A′B′,CA=C′A′,∠A=∠A′(即使两边和它们的夹角对应相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？(2)先任意画出一个△ABC,再画出△A1B1C1，使AB=A1B1,CA=C1A1,∠B=∠B1,把画好的△A1B1C1剪下，放在△ABC上，它们全等吗？若∠C=∠C1呢？【归纳】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形_____；两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形___________.【点拨】两边一角对应相等的两个三角形，只有角是两边的夹角时，才一定全等.全等不一定全等3.“S.A.S.”判定方法(1)内容：_____和它们的_____对应相等的两个三角形全等.简写：“边角边”或“S.A.S.”.两边夹角(2)书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，如图所示，∴△ABC≌____________(_______).【点拨】角必须是两对应相等边的夹角，“S.S.A.”是不能判定任意两个三角形全等的.ABABA______,ACAC∠A′△A′B′C′S.A.S.【预习思考】要判定两个三角形全等,至少要满足几组条件?提示：至少要满足3组条件对应相等.应用“S.A.S.”判定三角形全等【例1】(2011·柳州中考)如图,AB=AC,点E，F分别是AB，AC的中点.求证:△AFB≌△AEC.【解题探究】1.当前学过证明三角形全等的依据是什么?答:学过证明三角形全等的依据是“S.A.S.”.2.分析条件:依据条件证明△AFB≌△AEC,具备了什么条件?还缺少什么条件?答:要证明△AFB≌△AEC,已具备了一边和一角对应相等,还缺少夹角的另一边对应相等.3.寻找条件:根据已知条件,寻找另一边对应相等:∵点E，F分别是AB，AC的中点,又∵AB=AC,∴AE=AF,4.书写条件:在△AFB和△AEC中,∴△AFB≌△AEC(S.A.S.).AE,AF11ABAC22，AEAAABFAAC【规律总结】“S.A.S.”证明三角形全等的注意事项及证明方法1.应用“S.A.S.”判定两个三角形全等的两点注意(1)对应：“S.A.S.”包含“边”“角”两种元素，是两边夹一角，而不是两边及一边的对角对应相等，一定要注意元素的“对应”关系；(2)顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，绝不能出现边→边→角的错误，因为边边角不能保证两个三角形全等.2.证明中重要的两种方法(1)分析法：就是“执果索因”，从“未知”看“需知”(找可知)，逐步追溯到已知条件.(2)综合法：就是“由因导果”从“已知”看“可知”(找需知)，逐步推出要解决的问题.【跟踪训练】1.如图，CO=BO,AD,BC相交于点O,要使△ABO≌△DCO,应添加的条件是__________.【解析】在△ABO和△DCO中,CO=BO,∠AOB=∠DOC,再添加条件AO=DO,依据“S.A.S.”可证△ABO≌△DCO.答案：AO=DO2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,则△ADB≌△ADC,根据是_________.【解析】由AD⊥BC,得∠ADB=∠ADC=90°；D为BC的中点,所以BD=CD；在△ADB和△ADC中,AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=CD,依据“S.A.S.”,得△ABD≌△ACD.答案：S.A.S.3.(2012·武汉中考)如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB,求证：DE=AB.【证明】∵∠DCA=∠ECB,∴∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE,即∠DCE=∠ACB.在△DCE和△ACB中,∴△DCE≌△ACB(S.A.S.)∴DE=AB.DCACDCEACBECBC应用“S.A.S.”解决实际问题【例2】(6分)如图所示，有一池塘,要测池塘两侧A，B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,那么量出DE的长就是A，B的距离吗？为什么?【规范解答】DE=AB,理由:在△ABC和△DEC中，………………1分∴△ABC≌△DEC(S.A.S.).………5分∴AB=DE.……………………………………………………6分特别提醒:线段AC和CD,CE和CB是对应线段.CDCA14CECB2，，分，【规律总结】三角形全等证明中的四个步骤(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证明(公共边相等可以直接应用，不必推理说明)；(2)写出在哪两个三角形中；(3)列出三个条件用大括号括起来(没有先后顺序)；(4)写出全等结论.【跟踪训练】4.如图是人字型金属屋架的示意图,该屋架由BC，AC，BA，AD四段金属材料焊接而成,其中A，B，C，D四点均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点,假设焊接所需的四段金属材料已截好,并已标出BC段的中点D,那么,如果焊接工身边只有可检验直角的角尺,而又为了准确快速地焊接,他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是()(A)AD和BC,点D(B)AB和AC,点A(C)AC和BC,点C(D)AB和AD,点A【解析】选A.在D点,先应用角尺确定AD⊥BC,再把AD和BC两段金属材料焊接在一起,然后再焊接AB和AC比较省事.理由:依据“S.A.S.”,可得△ABD≌△ACD.5.如图所示,有两个滑梯,左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,左边滑梯的水平长度AB与右边滑梯垂直高度DE相等,这两滑梯的长度有什么关系?【解析】两段滑梯相等.理由:在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).∴BC=EF.即两段滑梯的长度相等.ACDFAEDFABDE1.如图,已知AC和BD相交于点O,且BO=DO,AO=CO,下列判断正确的是()(A)只能证明△AOB≌△COD(B)只能证明△AOD≌△COB(C)只能证明△AOB≌△COB(D)能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB【解析】选D.根据对顶角相等,依据“S.A.S.”判定方法,能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB.2.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件()(A)∠1=∠2(B)∠B=∠C(C)∠D=∠E(D)∠BAE=∠CAD【解析】选A.由∠1=∠2,得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠EAC=∠DAB,依据“S.A.S.”可以证明△EAC≌△DAB.3.如图,已知AE=CF,∠A=∠C,要使△ADF≌△CBE,还需添加一个条件___________(只需写一个).【解析】由AE=CF可得AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又已知∠A=∠C,要使△ADF≌△CBE,可根据“S.A.S.”添加AD=CB.答案：AD=CB4.如图,AE=CF,BF=DE,BF∥DE.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=______,再用“S.A.S.”证明______≌______得到结论.【解析】由AE=CF,根据等式的性质,得AE+EF=CF+EF,即AF=CE.再由BF∥DE,得∠BFA=∠DEC,且BF=DE,所以依据“S.A.S.”能证明△AFB≌△CED.答案：CE△AFB△CED.5.如图所示,已知点A，E，F，D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F，E,且BF=CE,求证:AB∥CD.【证明】∵BF⊥AD,CE⊥AD,∴∠AFB=∠DEC=90°.∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(S.A.S.)∴∠A=∠D,∴AB∥CD.AFDEAFBDECBFCE