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第一部分专题复习训练03电场与磁场第9讲带电粒子在复合场中的运动考情动态1．近几年高考涉及的题目为较简单的选择题或综合性较强的计算题．2．从近几年全国卷和地方卷的试题可以看出，命题点多集中在带电粒子在电场和磁场的组合场中运动，重在考查曲线运动的处理方法及几何关系的应用．也有考查重力场、电场、磁场的叠加场中的运动问题，重在考查在受力分析及动力学规律的应用．3．2020年高考题会以组合场为主，要关注电磁与现代科技为背景材料的题目．4．解决此类问题一定要分清复合场的组成、带电体在场中的受力特点、满足的运动规律(如类平抛运动、圆周运动、匀变速直线运动等)，同时要做好运动过程分析，将一个复杂的运动分解成若干简单的运动，并能找出它们之间的联系．核心知识知识必记1．做好“两个区分”(1)正确区分重力、电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点．重力、电场力做功只与初、末位置有关，与路径无关，而洛伦兹力不做功．(2)正确区分“电偏转”和“磁偏转”的不同．“电偏转”是指带电粒子在电场中做类平抛运动，而“磁偏转”是指带电粒子在磁场中做匀速圆周运动．2．抓住“两个技巧”(1)按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同特点的小过程．(2)善于画出几何图形处理边、角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯．3．熟记带电粒子在复合场中的三种运动(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)非匀变速曲线运动：当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．考点导练考点1带电粒子在组合场中的运动【例1】(2019年石家庄一模)在如图3—9—1所示的平面直角坐标系xOy中，第一象限有竖直向下的匀强电场，第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场．一质量为m、电量为＋q的带电粒子沿x轴正向以初速度v0从A(0，1.5l)点射入第一象限，偏转后打到x轴上的C(3l，0)点．已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为mv0ql，不计粒子重力．图3—9—1(1)求第一象限匀强电场的电场强度大小；(2)若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为2mv0ql，求粒子从C点运动到P(0，－3l)点所用的时间；(3)为使从C点射入磁场的粒子经过第三象限偏转后直接回到A点，求第三象限磁场的磁感应强度大小．【解】(1)粒子在第一象限内做平抛运动3l＝v0t1．5l＝12at2，Eq＝ma解得E＝mv02lq(2)粒子y方向末速度vy＝at解得vy＝3v0合速度v1＝v02＋vy2＝2v0方向与x轴正向成60°角，斜向右下．图3—9—2第四象限内粒子做匀速圆周运动，运动半径设为r1，qv1B4＝mv12r1解得r1＝2l设粒子运动的周期为T1qv1B4＝m4π2T12r1或T1＝2πr1v1解得T1＝2πlv0如图3—9—2，粒子从C到P转过2π3，运动时间t2＝13T1＝2πl3v0粒子经P点进入第三象限后，设运动半径为r2，qv1B3＝mv12r2解得r2＝l设粒子运动的周期为T2，qv1B3＝m4π2T22r2解得T2＝πlv0如图3—9—3，粒子从P点再回到P点所用时间图3—9—3t3＝12T1＋T2＝2πlv0粒子从C点运动到P点所用的时间为t2＋t3＝8πl3v0故粒子从C点运动到P点所用的时间为2πl3v0或8πl3v0(3)粒子在第三象限或第二象限运动的轨迹如图3—9—4所示图3—9—4设粒子在第三象限运动的轨道半径为r3，与y轴正方向的夹角为θr3sinθtanθ＝1.5l，r3cosθ＋r3＝3l解得r3＝95l由qv1B3′＝mv12r3解得B3′＝10mv09ql【例2】(2019年福建月考)如图3—9—5所示，在空间有xOy坐标系，第三象限有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，第四象限有沿y轴正方向的匀强电场．一个质量为m、电荷量为q的正离子，从A处沿与x轴成60°角的方向垂直射入匀强磁场中，结果离子正好从距O点为L的C处沿垂直电场方向进入匀强电场，最后离子打在x轴上距O点2L的D处，不计离子重力，求：图3—9—5(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；(2)离子从A处运动到D处所需的时间；(3)场强E的大小．【解】(1)正离子的运动轨迹如图3—9—6所示，由几何知识可得r＋rcos60°＝L，解得半径为r＝2L3图3—9—6(2)根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv02r解得v0＝2qBL3m离子在磁场中运动的周期为T＝2πrv0＝2πmqB由几何知识可知θ＝120°根据轨迹得到离子在磁场中做圆周运动的时间为t1＝120°360°T＝2πm3qB离子从C运动到D做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动所需要的时间t2＝2Lv0＝3mqB故离子从A→C→D的总时间为t＝t1＋t2＝2πm3qB＋3mqB(3)在电场中L＝12at22，a＝qEm电场的场强大小为E＝2qB2L9m☞归纳总结带电粒子在组合场中运动的处理方法(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等，如例题中磁场在第三象限且垂直纸面向里，电场在第四象限且竖直向上．(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况，如在磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，在电场中受电场力做类平抛运动．(3)画轨迹：正确地画出粒子的运动轨迹图．(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度是下一个区域的初速度．[变式训练]1．(2019年福建漳州一中模拟)如图3—9—7所示，在x轴下方的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场．在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面并指向纸面向外，磁感应强度为B.y轴负半轴上的A点与O点的距离为d，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场．粒子重力不计，求：图3—9—7(1)要使粒子离开磁场时的速度方向与x轴平行，电场强度E0的大小；(2)若电场强度E＝23E0，粒子仍从A点由静止释放，离开磁场后经过x轴时的位置与原点的距离．解：(1)粒子在电场中加速，由动能定理得qE0d＝12mv2①粒子进入磁场后做圆周运动，有qvB＝mv2r②粒子离开磁场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图3—9—8中图线①，可得R＝2r③由以上各式解得E0＝qB2R24md图3—9—8(2)当E＝23E0时，同(1)中可得磁场中运动的轨道半径r′＝R3④粒子运动情况如图3—9—8中图线②，图中的角度α、β满足cosα＝R2r′＝32即α＝30°⑤β＝2α＝60°⑥粒子经过x轴时的位置坐标为x＝r′＋r′cosβ⑦解得x＝3R⑧2．如图3—9—9所示，平面直角坐标系的x轴上方存在竖直向上的匀强电场Ⅰ，场强为E1(未知)，第四象限内OC与x轴正方向成60°角，OC与x轴间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B(未知)，OC与y轴间存在垂直OC向下的匀强电场Ⅱ，场强为E2(未知)．一质量为m、带电荷量为－q(q0)的粒子从O点以与x轴正方向成30°角的初速度v0射入匀强电场E1中，经一段时间后从x轴上的Q点进入匀强磁场，经磁场偏转后恰好垂直穿过OC且刚好能到达y轴上的D点，已知O、Q间的距离为L，粒子重力不计，求：图3—9—9(1)场强E1、E2的大小及磁感应强度B的大小；(2)粒子从O点运动到D点所用的时间t.解：(1)粒子的运动轨迹如图3—9—10所示，粒子在匀强电场Ⅰ中做斜上抛运动，由运动的合成与分解知：图3—9—10y轴方向：v0sin30°＝a·t12，且a＝qE1mx轴方向：L＝v0cos30°·t1，联立得E1＝3mv022qL由对称性可知粒子运动到Q点时的速度大小为v0，方向与x轴正方向成30°角斜向下，由几何关系知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝OQ＝L由Bqv0＝mv02r得B＝mv0qL粒子在OC线下方做匀减速直线运动，到D点时速度刚好为0设粒子在电场Ⅱ中的位移为x，由几何关系知：tan60°＝2rx，得x＝23L3而v02＝2·qE2m·x，联立解得E2＝3mv024qL.(2)由(1)知粒子在匀强电场Ⅰ中运动的时间t1＝23L3v0粒子在匀强磁场中运动的时间t2＝120°360°·2πmBq＝2πL3v0粒子在匀强电场Ⅱ中运动的时间t3＝2xv0＝43L3v0所以粒子从O点运动到D点所用的时间：t＝t1＋t2＋t3＝63＋2π3v0L.考点2带电粒子在叠加场中的运动【例3】(多选)空间内存在电场强度大小E＝100V/m、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小B1＝100T、方向垂直纸面向里的匀强磁场(图中均未画出)．一质量m＝0.1kg、带电荷量q＝＋0.01C的小球从O点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图3－9－11中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为l，重力加速度g取10m/s2.下列说法正确的是()图3—9—11A．在运动过程中，小球的机械能守恒B．小球经过A点时的速度最大C．小球经过B点时的速度为0D．l＝2m【解析】由于电场力做功，故小球的机械能不守恒，A错误；重力和电场力的合力大小为2N，方向与竖直方向的夹角为45°斜向左下方，小球由O点到A点，重力和电场力的合力做的功最多，在A点时的动能最大，速度最大，B正确；小球做周期性运动，在B点时的速度为0，C正确；对小球由O点到A点的过程，由动能定理得2mgl＝12mv2，沿OB方向建立x轴，垂直OB方向建立y轴，在x方向上由动量定理得qvyB1Δt＝mΔv，累计求和，则有qB1l＝mv，得l＝25m，D错误．【答案】BC【例4】如图3—9—12所示，平面OM和水平面ON之间的夹角为30°，两平面之间同时存在匀强磁场和匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外；匀强电场的方向竖直向上．一带电小球的质量为m，电荷量为q；带电小球沿竖直平面以大小为v0的初速度从平面OM上的某点沿左上方射入磁场，速度方向与OM成30°角，带电小球进入磁场后恰好做匀速圆周运动．已知带电小球在磁场中的运动轨迹与ON恰好相切，且带电小球能从OM上另一点P射出磁场(P未画出)．图3—9—12(1)判断带电小球带何种电荷？所加电场的电场强度E为多大？(2)求出射点P到两平面交点O的距离s.(3)带电小球离开磁场后继续运动，能打在左侧竖直的光屏OO′上的T点，求T点到O点的距离s′.【解】(1)根据题意，带电小球受到的电场力与重力平衡，则带电小球带正电荷．由力的平衡条件得qE＝mg，解得E＝mgq.(2)带电小球在叠加场中，洛伦兹力充当向心力，做匀速圆周运动．有qv0B＝mv02R，解得R＝mv0qB根据题意，带电小球在匀强磁场中的运动轨迹如图3—9—13所示，Q点为运动轨迹与ON相切的点，I点为入射点，P点为出射点，小球离开磁场的速度方向与OM的夹角也为30°，由几何关系可得，QP为圆轨道的直径，故QP＝2R图3—9—13OP的长度s＝QPsin30°联立以上各式得s＝4mv0qB.(3)带电小球从P点离开磁场后做平抛运动，设其竖直位移为y，水平位移为x，运动时间为t.则x＝v0t＝scos30°，竖直位移y＝12gt2联立各式得s′＝2R＋y＝2mv0qB＋6m2gq2B2.☞归纳总结带电粒子在叠加场中运动的处理方法(1)弄清叠加场的组成．(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点．(3)画出粒子的运动轨迹，如例4中在叠加场和重力场中的运动分别是圆周运动和平抛运动，灵活选择不同的运动规律．①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或