2019秋高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型课件 新人教A版必修3

第三章概率3．3几何概型3．3.1几何概型3．3.2均匀随机数的产生[学习目标]1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义(重点、难点)．2.会求一些简单的几何概型的概率(重点)．3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率(难点)．[知识提炼·梳理]1．几何概型的定义与概率计算公式(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)在几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.2．几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个结果的发生是等可能的．3．古典概型和几何概型的异同名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有有限个②基本事件有无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0⇐A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1⇐B为必然事件4.均匀随机数(1)定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．(2)产生：①计算器上产生[0，1]上的均匀随机数的函数是RAND函数；②Excel软件中产生的[0，1]上的均匀随机数的函数为rand()．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)几何概型的基本事件有无限多个．()(3)x是[0，1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．()答案：(1)√(2)√(3)√2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒，当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是()A.112B.38C.116D.56解析：530＋45＋5＝580＝116.答案：C3．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是()A.13B.23C.14D.18解析：地板砖共有3×4＝12块，黑色有4块．所以所求概率为412＝13.答案：A4．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河．则他乘船过河的概率是________．解析：2060＝13.答案：135．在如图所示的正方形中随机撒入1000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝πa24a2＝π4，大约有1000×π4≈785粒．答案：785类型1与长度有关的几何概型[典例1]一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件H，则P(H)＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.答案：12归纳升华1．解几何概型概率问题的一般步骤：(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[变式训练]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：由题意知，试验发生包含的事件是总的时间长度为30＋5＋40＝75秒，设红灯亮为事件A，黄灯亮为事件B.满足条件的事件是红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，根据等可能事件的概率得到(1)红灯亮的概率P(A)＝构成事件A的时间长度总的时间长度＝3075＝25.(2)黄灯亮的概率P(B)＝构成事件B的时间长度总的时间长度＝575＝115.(3)不是红灯亮的概率P(A－)＝1－P(A)＝1－25＝35.类型2与面积有关的几何概型[典例2](1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8(2)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4解析：(1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.(2)记“该地点无信号”为事件A，由已知可求得矩形区域的面积为2×1＝2.两个扇形区域的面积为14×π×12×2＝π2.故P(A)＝矩形面积－扇形面积矩形面积＝2－π22＝1－π4.答案：(1)B(2)A归纳升华1．与面积有关的几何概型的概率公式．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点．(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积．(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．[变式训练](2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.答案：B类型3与体积有关的几何概型[典例3]一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解：依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝1333＝127.归纳升华与体积有关的几何概型，先分清题目中的条件，找出几何体的形状，并计算出总体积，以及所求的事件占有的几何体的形状，并计算出体积，然后利用体积之比求出概率．[变式训练](1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6πB.32πC.3πD.233π(2)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：(1)由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R＝32.球的体积V2＝43πR3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P＝V1V2＝132π＝233π.(2)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案：(1)D(2)1－π12类型4用随机模拟法近似计算不规则图形的面积[典例4]利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．解：(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a＝a1[N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(3)统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1[满足条件b2a的点(a，b)]．(4)计算频率N1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝S4.所以N1N≈S4.所以S＝4N1N即为阴影部分面积的近似值．归纳升华利用随机模拟法估计图形面积的步骤1．把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示．2．利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)＝N1N.3．设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有SS′＝N1N，解得S＝N1NS′，则已知图形面积的近似值为N1NS′.[变式训练]如图所示，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒了300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：阴影部分的面积S≈125300×(6×3)＝152.答案：1521．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型．3．在几何概型中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积、角度等)成正比，而与子区域A的位置、形状无关．如果事件A的区域不好处理，则可用其对立事件解决．4．几何概型与古典概型的异同点：(1)相同点：古典概型与几何概型中每个基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点：①古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．②在古典概型中，概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中概率为0的事件可能发生，概率为1的事件不一定发生．5．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．