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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课标要求:1.了解周期函数与最小正周期的意义.2.了解三角函数的周期性和奇偶性.3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期.4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等).5.能利用性质解决一些简单问题.1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个,使得当x取定义域内的值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数,叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)记f(x)=sinx,则由sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它们的周期,最小正周期为.自主学习知识探究非零常数T每一个f(x+T)=f(x)非零常数T最小的正数最小正数2kπ(k∈Z且k≠0)2π函数名称图象与性质y=sinxy=cosx图象探究1:是不是所有的周期函数都有最小正周期?提示:并非所有周期函数都有最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,最小正数不存在,所以常数函数没有最小正周期.2.正、余弦函数的性质定义域值域周期性最小正周期为最小正周期为奇偶性函数函数单调性在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上;在[2kπ+π2,2kπ+32π](k∈Z)上在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上对称轴x=kπ+π2(k∈Z)x=kπ(k∈Z)RR[-1,1]2π奇偶递增递减递增递减[-1,1]2π探究2:正弦函数(余弦函数)是不是定义域上的单调函数?提示:正弦函数(余弦函数)在其定义域上不是单调函数.探究3:正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点吗?提示:是.对称中心(kπ,0)(k∈Z)(kπ+π2,0)(k∈Z)最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=时,ymax=1;x=时,ymin=-12kπ+π2(k∈Z)2kπ-π2(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ+π(k∈Z)1.函数f(x)=2sin(2x-π3),x∈R的最小正周期为()(A)π2(B)π(C)2π(D)4π2.若函数y=sin(x+)(0≤≤π)是R上的偶函数,则等于()(A)0(B)π4(C)π2(D)π自我检测DC3.函数f(x)=3sin(x+π6)在下列区间内单调递减的是()(A)[-π2,π2](B)[-π,0](C)[-2π3,2π3](D)[π2,2π3]D答案:x=π2k+π6(k∈Z)(π2k-π12,0)(k∈Z)4.函数y=12sin(2x+π6)的图象的对称轴方程为,对称中心为.5.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值与最小值之和为.解析:因为值域为[-1,12],由y=sinx的图象,知b-a的最大值为π6-(-7π6)=4π3,最小值为π6-(-π2)=2π3,所以4π3+2π3=2π.12答案:2π题型一正、余弦函数的周期性课堂探究【例1】求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;解:(1)因为3sin(x+2π)=3sinx,所以由周期函数的定义知,y=3sinx的最小正周期为2π.(2)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,所以由周期函数的定义知,y=cos2x的最小正周期为π.(3)y=sin(13x-π4),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.解:(3)因为sin[13(x+6π)-π4]=sin(13x+2π-π4)=sin(13x-π4),所以由周期函数的定义知,y=sin(13x-π4)的最小正周期为6π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正周期为π.方法技巧求函数最小正周期的常用方法(1)函数y=Asin(ωx+)与y=Acos(ωx+)(x∈R)的最小正周期都是T=2π.(2)可以借助周期函数的定义或函数图象求最小正周期,有时需借助诱导公式化简后再求解.解析:(1)T=2π3,故选B.即时训练1-1:(1)函数y=2sin(3x+π6),x∈R的最小正周期是()(A)π3(B)2π3(C)3π2(D)π答案:(1)B解析:(2)作出y=|sin2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为π2.(2)函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为.答案:(2)π2题型二正、余弦函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2sin2x;(2)f(x)=sin(34x+3π2);解:(1)显然x∈R,f(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-f(x),所以f(x)=2sin2x是奇函数.(2)因为x∈R,f(x)=sin(34x+3π2)=-cos34x,所以f(-x)=-cos(-34x)=-cos34x=f(x),所以函数f(x)=sin(34x+3π2)是偶函数.(3)f(x)=sin|x|;(4)f(x)=1cosx+cos1x.解:(3)显然x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函数f(x)=sin|x|是偶函数.(4)由1cos0,cos10,xx得cosx=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.方法技巧判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.即时训练2-1:下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()(A)y=sin(2x+π2)(B)y=cos(2x+π2)(C)y=sin(2x+π4)(D)y=2sin(x+π4)解析:A中,y=sin(2x+π2),即y=cos2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+π2)=-sin2x,是奇函数,T=2π2=π,故选B.题型三正、余弦函数的单调性解:(1)当-π2+2kπ≤4x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-5π24+π2k,π24+π2k](k∈Z).当π2+2kπ≤4x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[π24+π2k,7π24+π2k](k∈Z).【例3】求下列函数的单调区间:(1)y=2sin(4x+π3);解:(2)y=2cos(π3-x)=2cos(x-π3),令-π+2kπ≤x-π3≤2kπ,k∈Z.解得-2π3+2kπ≤x≤2kπ+π3,k∈Z.即函数的单调递增区间为[-2π3+2kπ,2kπ+π3](k∈Z),令2kπ≤x-π3≤2kπ+π(k∈Z),解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3,k∈Z.即函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3](k∈Z).(2)y=2cos(π3-x).误区警示在求y=Asin(ωx+)型的函数的单调区间时,若ω为负数,要把ω化为正数;当A0时函数的单调性与A0时相反,一定要注意变化,否则易出现错误.即时训练3-1:(1)函数y=sin(2x+π3)的增区间为;解析:(1)令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-512π+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z.答案:(1)[-512π+kπ,π12+kπ],k∈Z解析:(2)因为函数y=f(x)在[-π4,2π3]上单调递增,且ω0,所以π2≥2π3且-π2≤-π4,所以0ω≤34.即ω∈(0,34].(2)已知函数f(x)=2sinωx,其中常数ω0.若y=f(x)在[-π4,2π3]上单调递增,则ω的取值范围为;答案:(2)(0,34](3)解:①π5,π7∈(0,π2),在区间(0,π2)内y=cosx单调递减,而π5π7,所以cosπ5cosπ7.(3)比较下列两组值的大小:①cosπ5与cosπ7;解:②sin115π=sin(2π+π5)=sinπ5,而π5,25π∈(0,π2),在这个区间内y=sinx单调递增,且π52π5,所以sinπ5sin2π5,所以sin11π5sin2π5.②sin25π与sin115π.题型四正、余弦函数的值域与最值问题解:(1)由x∈[0,π2]可得x+π6∈[π6,2π3],函数y=cosx在区间[π6,2π3]上单调递减,所以函数的值域为[-12,32].【例4】求下列函数的值域:(1)y=cos(x+π6),x∈[0,π2];(2)y=cos2x-4cosx+5.解:(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,当t=-1时,函数取得最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].方法技巧三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.解析:(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-54)2+98.故当sinx=1时,ymax=1;当sinx=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].即时训练4-1:(1)函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为.答案:(1)[-9,1]解析:(2)由题意a≠0,当a0时,1,3,abab所以2,1,ab此时g(x)=-sin(2x+π3),其最大值为1.当a0时,3,1,abab所以2,1.ab此时g(x)=-sin(-2x+π3),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.(2)设f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+π3)的最大值为.答案:(2)1