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第2课时平行四边形的性质定理31.两条平行线之间的距离(1)定义:两条直线平行,其中一条直线上的任一点到另一条直线的,叫做这两条平行线之间的距离.(2)性质:平行线之间的距离.2.平行四边形的面积S平行四边形=底×高.3.平行四边形的性质定理3:平行四边形的对角线.距离处处相等互相平分探究点一:两平行线之间的距离【例1】如图所示,已知直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,P为直线m上两点.写出图中面积相等的三角形.【导学探究】由m∥n,得点A,点B到直线m的距离,同理,点C,点P到直线n的距离(填“相等”或“不相等”).相等相等解:(1)由m∥n,设m,n之间的距离为h,点A,点B到直线m的距离相等为h,所以S△APB=12AB·h,S△ACB=12AB·h,所以S△APB=S△ACB.(2)同理,得S△APC=S△BPC.(3)因为S△APC=S△BPC,所以S△APC-S△COP=S△BPC-S△COP,即S△AOC=S△BOP.探究点二:平行四边形对角线的性质【例2】已知:如图,E,F为▱ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.连结BE,DF.求证:BE=DF.【导学探究】1.证法一:连结BD交AC于O点,根据对角线互相平分,证△BOE≌,得BE=DF.2.证法二:根据平行四边形性质,△BAE≌,得BE=DF.△DOF△DCF证明:法一连结BD交AC于O点,如图所示,所以OA=OC,OB=OD,又因为AE=CF,所以OE=OF,在△BOE和△DOF中,,,,OEOFBOEDOFOBOD所以△BOE≌△DOF(S.A.S.),所以BE=DF.法二因为平行四边形ABCD,所以AB=CD,AB∥CD,所以∠BAE=∠DCF,因为AE=CF,所以△BAE≌△DCF(S.A.S.),所以BE=DF.应用平行四边形对角线证全等由平行四边形对角线构成的三角形,不论在平行四边形内,还是在平行四边形外,都可以通过证三角形全等的方法,得到边、角相等,如图.1.点O是▱ABCD对角线的交点,若∠DAO=90°,AC=12,BD=20,则BC等于()(A)6(B)8(C)10(D)122.如图,若▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则与△BOA的面积相等的三角形有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个BC3.(2018泰州)如图,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为.4.如图,在▱ABCD中,点E,F,G在边AD上,则图中面积相等的三角形共有个.1455.如图所示,在▱ABCD中,EF经过对角线的交点O,分别交DC,AB于点E,F.(1)求证:AF=CE;(2)若AB=6cm,AD=5cm,OF=2.3cm,求四边形BCEF的周长.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,AB∥DC.所以∠FAO=∠ECO.因为∠AOF=∠COE,所以△AOF≌△COE.所以AF=CE.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC=5cm.因为△AOF≌△COE,所以OE=OF=2.3cm.所以EF=4.6cm.所以四边形BCEF的周长为EF+BC+BF+CE=EF+BC+BF+AF=EF+BC+AB=4.6+5+6=15.6(cm).所以四边形BCEF的周长是15.6cm.