搜索
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质目标导航课标要求1.掌握y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.素养达成1.通过对正弦函数、余弦函数的性质的学习,使学生养成直观抽象、数学建模的素养.2.在利用正弦函数、余弦函数的性质解决问题中,学会逻辑推理与数学运算的素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个,使得当x取定义域内的值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数,叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.非零常数T每一个f(x+T)=f(x)非零常数T最小的正数2.正、余弦函数的图象与性质函数名称性质分类y=sinxy=cosx定义域RR值域..周期性最小正周期为.最小正周期为.图象奇偶性函数函数图象与性质[-1,1][-1,1]2π2π奇偶单调性在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上是;在[2kπ+π2,2kπ+32π](k∈Z)上是在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是对称轴x=kπ+π2(k∈Z)x=kπ(k∈Z)对称中心(kπ,0),(k∈Z)(kπ+π2,0)(k∈Z)最值x=2kπ+π2(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ-π2(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ时,ymax=1;x=2kπ+π时,ymin=-1增函数减函数增函数减函数思考1:所有的函数都是周期函数吗?如果是周期函数,是不是只有一个周期?提示:并不是每一个函数都是周期函数.若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一,如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是f(x)的周期.思考2:y=sinx在第一象限内是增函数,这一说法对吗?提示:不对.如60°390°,但sin60°sin390°.(1)正弦曲线和余弦曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形.名师点津(2)求形如y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的函数单调区间、最值时,通常利用“整体代换”,即令ωx+=z,将函数转化为y=Asinz的形式求解.课堂探究·素养提升题型一求三角函数的周期[例1]求下列函数的最小正周期:(1)y=sin(x+3);π2解:(1)法一令z=π2x+3,且y=sinz的最小正周期为2π.所以sin(π2x+3+2π)=sin[π2(x+4)+3],因此sin(π2x+3)=sin[π2(x+4)+3].所以由周期函数定义,T=4是y=sin(π2x+3)的最小正周期.法二f(x)=sin(π2x+3)的周期T=2ππ2=4.(2)y=|cosx|.解:(2)作y=|cosx|的图象,如图所示:由图象知y=|cosx|的最小正周期为π.方法技巧求三角函数周期的三种方法(1)定义法.(2)公式法.对y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(A,ω,是常数,且A≠0,ω≠0),T=2π.(3)观察法(图象法).其中公式法是较常用的方法.即时训练1-1:试求下列函数的最小正周期:(1)y=13cos(2x-π3);(2)y=cos|x|.解:(1)因为y=13cos(2x-π3)中,ω=2,所以函数的最小正周期为T=2π2=π.(2)因为y=cos|x|=cosx,所以y=cos|x|的最小正周期T=2π.[备用例1]求下列函数的最小正周期:(1)y=sin(2x+);(2)y=|sin2x|(x∈R).π3解:(1)定义法:y=sin(2x+π3)=sin(2x+π3+2π)=sin[2(x+π)+π3],所以此函数的周期是π.公式法:利用公式T=2π,得y=sin(2x+π3)的周期为2π2=π.(2)作出y=|sin2x|的图象.由图象可知,y=|sin2x|的周期为π2.[例2](1)(2019·邢台市高一月考)函数f(x)=|2sin(2x+π2)|+12是()(A)最小周期为π的偶函数(B)最小周期为π的奇函数(C)最小周期为π2的偶函数(D)最小周期为π2的奇函数题型二三角函数的奇偶性的判断(1)解析:根据题意,函数f(x)=|2sin(2x+π2)|+12=|2cos2x|+12,其周期T=12×2π2=π2,且f(-x)=|2cos2(-x)|+12=|2cos2x|+12=f(x),所以函数f(x)为偶函数.故选C.(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=|sinx|+cosx.②f(x)=1cosx+cos1x.(2)解:①函数的定义域为R,又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以此函数是偶函数.②由1-cosx≥0且cosx-1≥0,得cosx=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.方法技巧判断函数奇偶性应把握好的两个方面(1)看函数的定义域是否关于原点对称;(2)看f(x)与f(-x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.(2)f(x)=1sin1sinxx.即时训练2-1:判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.f(x)=xsin(π+x)=-xsinx.f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).所以f(x)为偶函数.(2)函数应满足1+sinx≠0,所以函数的定义域为{x|x≠2kπ-,k∈Z}.因为函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.π2[备用例2]判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=xcos(π+x);(2)f(x)=sin(cosx).解:(1)函数f(x)的定义域为R,因为f(x)=x·cos(π+x)=-x·cosx,所以f(-x)=-(-x)·cos(-x)=x·cosx=-f(x).所以f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x).所以f(x)为偶函数.题型三正、余弦函数的单调性[例3](1)(2018·惠州市高一期末)设函数f(x)=sin(2x-π6),x∈[-π2,π],则以下结论正确的是()(A)函数f(x)在[-π2,0]上单调递减(B)函数f(x)在[0,π2]上单调递增(C)函数f(x)在[π2,2π3]上单调递减(D)函数f(x)在[2π3,π]上单调递增(1)解析:对于A,x∈[-π2,0]时,2x-π6∈[-7π6,-π6],所以函数f(x)=sin(2x-π6)先减后增,A错误;对于B,x∈[0,π2]时,2x-π6∈[-π6,5π6],所以函数f(x)=sin(2x-π6)先增后减,B错误;对于C,x∈[π2,2π3]时,2x-π6∈[5π6,76π],所以函数f(x)=sin(2x-π6)单调递减,C正确;对于D,x∈[2π3,π]时,2x-π6∈[7π6,11π6],所以函数f(x)=2sin(2x-π6)先减后增,D错误.故选C.(2)求函数y=sin(π6-x)的单调递减区间.(2)解:y=sin（π6-x）=-sin（x-π6）,令z=x-π6,则y=-sinz,要求y=-sinz的递减区间,只需求sinz的递增区间,即2kπ-π2≤z≤2kπ+π2,k∈Z,所以2kπ-π2≤x-π6≤2kπ+π2,k∈Z.所以2kπ-π3≤x≤2kπ+23π,k∈Z.故函数y=sin(π6-x)的单调递减区间为[2kπ-π3,2kπ+23π],k∈Z.方法技巧(1)求形如y=Asin(ωx+)+b或形如y=Acos(ωx+)+b(其中A≠0,ω0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.(2)具体求解时注意两点:①要把ωx+看作一个整体,若ω0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A0,ω0时,将“ωx+”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A0,ω0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.[备用例3]求y=2sin（π3-2x）的单调递增区间?解:函数y=2sin（π3-2x）=-2sin（2x-π3）,因此要求函数y=2sin（π3-2x）的单调递增区间只需求函数y=2sin（2x-π3）的单调递减区间,令π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ(k∈Z),解得:5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z),即原函数的单调递增区间为[5π12+kπ,11π12+kπ](k∈Z).题型四正、余弦函数的值域与最值[例4]求下列函数的最大值和最小值:(1)y=3+2cos(2x+);π3解:(1)因为-1≤cos(2x+π3)≤1,所以当cos(2x+π3)=1时,ymax=5;当cos(2x+π3)=-1时,ymin=1.(2)y=2sin(2x+π3)(-π6≤x≤π6).解:(2)因为-π6≤x≤π6,所以0≤2x+π3≤2π3.所以0≤sin(2x+π3)≤1.所以当sin(2x+π3)=1时,ymax=2;当sin(2x+π3)=0时,ymin=0.方法技巧(2)将函数式转化为y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)的形式.求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y=asinx(或y=acosx)的函数的最值要注意对a的讨论.(3)换元后配方利用二次函数求最值.即时训练4-1:求下列函数的最值:(1)y=3sin1sin2xx;解:(1)y=3sin27sin2xx=3-7sin2x.所以当sinx=1时,ymax=3-73=23;当sinx=-1时,ymin=3-7=-4.(2)y=3-4cos(2x+π3),x∈[-π3,π6].解:(2)因为x∈[-π3,π6],所以2x+π3∈[-π3,2π3].从而-12≤cos(2x+π3)≤1.所以当cos(2x+π3)=1,即2x+π3=0,即x=-π6时,ymin=3-4=-1;当cos(2x+π3)=-12,即2x+π3=2π3,即x=π6时,ymax=3-4×(-12)=5.[备用例4]求函数y=3-2cosx,x∈[-π4,π4]的值域.解:因为-π4≤x≤π4,所以22≤cosx≤1,所以-1≤-cosx≤-22,所以-2≤-2cosx≤-2,所以1≤3-2cosx≤3-2.故函数y=3-2cosx,x∈[-π4,π4]的值域为[1,3-2].题型五易错辨析[例5]求函数y=1-2cos2x+5sinx的最大值和最小值.错解:y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx-1=2(sinx+54)2-338≥-338,所以函数y=1-2cos2x+5sinx的最小值为-338,没有最大值.纠错:根据正弦函数的图象,可以发现sinx的值介于[-1,1]之间,上述解答错误地将sinx的范围当成了实数集R,所以本题中的以sinx为自变量的二次函数的定义域不是R,而是[-1,1].正解:y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx-1=2(sinx+54)2-338.令sinx=t,则t∈[-1,1],则y=2(t+54)2-338.因为函数y在[-1,1]上是增函数,所以当t=sinx=-1时,函数取得最小值-4,当t=sinx=1时,函数取得最大值6.课堂达标A解析:y=cos(x+π2)=-sinx,所以此函数为奇函数.1.函数y=cos(x+)(x∈R)是()(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)无法确定π22.函数y=-cosx在区间[-π2,π2]上是()(A)增函数(B)减函数(C)先减后增函数(D)先增后减函数C解析:结合函数在[-π2,π2]上的图象可知C正确.3.(2018·鄂尔多斯