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第一章集合§2集合的基本关系自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．理解集合间包含与相等的含义．2．能识别给定集合的子集．3．能用Venn图表达集合间的关系.1．子集自然语言对于两个集合A与B，如果集合A中的______________都是集合B中的元素，即若________，则________，我们说集合A是集合B的子集符号语言A⊆B(或B⊇A)读作________________(或______________)Venn图任何一个元素a∈Aa∈B“A包含于B”“B包含A”练一练：集合{1,2}的子集有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．答案：A2．集合相等自然语言对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素____________________，同时集合B中的任何一个元素______________的元素，我们就说集合A与集合B相等符号语言若________且________，则________Venn图都是集合B中的元素都是集合A中A⊆BB⊆AA＝B练一练：若集合A＝{1，a}，B＝{3，b}，且A＝B，则a＋b＝________.解析：∵A＝B，∴a＝3，b＝1，a＋b＝4.答案：43．真子集自然语言对于两个集合A与B，如果________，并且________，我们就说集合A是集合B的真子集符号语言________(或________)读作__________________(或________________)Venn图A⊆BA≠BABBA“A真包含于B”“B真包含A”练一练：集合A＝{1}，集合B＝{x|x2－1＝0}，A与B的关系是________．解析：B＝{x|x2－1＝0}＝{x|x＝±1}＝{－1,1}，∴AB．答案：AB4．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作________(或________)．5．重要规定(1)任何一个集合都是它本身的______，即A___A．(2)空集是__________的子集，即对任何一个集合A，都有∅___A．6．常用结论(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则________．(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则________．A⊆/BB⊉A子集⊆任何集合⊆A⊆CAC1．如何理解子集概念？答：“A⊆B”即A是B的子集，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．不能理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素．2．怎样判断两个集合相等？答：(1)两集合若是有限集，常用列举法写出所有元素，判断元素是否完全相同．(2)若集合是无限集，则依据A⊆B，且B⊆A进行判断．3．“∈”与“⊆”的区别是什么？答：(1)前者表示元素与集合之间的关系．(2)后者表示集合与集合之间的关系．4．如何理解符号“⊆”与“”？答：(1)若A⊆B，则AB或A＝B必居其一．(2)若A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，用符号A⊆B与AB均可，但用AB更准确．5．空集与其他集合的关系是什么？答：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．典例精析规律总结2课堂互动探究(1)分别写出集合A1＝{a}，A2＝{a，b}，A3＝{a，b，c}的子集，说明其个数；(2)总结归纳集合An＝{a1，a2，a3，…，an}的子集的个数．【解】(1)A1＝{a}的子集为∅，{a}，共2个；A2＝{a，b}的子集为∅，{a}，{b}，{a，b}，共4个；A3＝{a，b，c}的子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个．(2)猜测A4的子集个数为16＝24个，An的子集个数为2n个．【方法总结】(1)注意集合本身及空集．(2)若集合A有n个元素，其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：集合A的子集中，含有元素0的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，共4个．答案：B下列各组中的两个集合相等的有________．(1)P＝{1,2,5,10}，Q＝{x|x是10的约数}；(2)P＝{x|x＝3k，k∈N}，Q＝{x|x＝6m，m∈N}；(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(4)P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．【解析】(1)10的约数有1,2,5,10，两集合相等．(2)P＝{0,3,6,9,12，…}，Q＝{0,6,12,18，…}，两集合不等．(3)P、Q中元素均为偶数，P＝Q.(4)P＝{1,3,5,7,9，…}，Q＝{3,5,7,9，…}，1∈P但1∉Q，∴两集合不相等．【答案】(1)(3)【方法总结】(1)若两集合A、B均为有限集，只要两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B．(2)若两集合A、B均是无限集，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件P(x)是否一致，若均一致，则两集合相等，即A＝B．已知集合A＝a，ba，1，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，求a2017＋b2018的值．解：∵A＝a，ba，1，B＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0，a≠1.又A＝B，∴a2＝1，a＋b＝a，ba＝0或a＋b＝1，a2＝a，ba＝0，解得a＝－1，b＝0或a＝1，b＝0(舍去)．∴a2017＋b2018＝(－1)2017＋02018＝－1.已知A＝{x|a－4x2a}，B＝{x|x－1或x5}，且A⊆B．求a的取值范围．【解】∵A⊆B，∴当A＝∅时，a－4≥2a，a≤－4；当A≠∅时，a－42a，2a≤－1或a－42a，a－4≥5，解得－4a≤－12或a≥9.综上，a≤－12或a≥9.【方法总结】(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)解不等式组时通常借助数轴．尤其要注意是否包含端点值．(3)要注意分类讨论的思想．(4)注意检验空集是否符合题意．已知集合A＝{2,0,1}，集合B＝{x||x|a，且x∈Z}，则满足A⊆B的实数a可以取的一个值是()A．0B．1C．2D．3解析：B＝{x|－axa，且x∈Z}，∵A⊆B，∴2∈B，且0∈B，且1∈B．∴a可以取的一个值是3.答案：D若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1`＝0}，且BA，求m的值．【错解】由A＝x|x2＋x－6＝0，得A＝{－3,2}．由B＝{x|mx＋1＝0}，得B＝－1m.∵BA，∴－1m＝－3或－1m＝2，解得m＝13或m＝－12.∴m的值为13或－12.【错因分析】解方程mx＋1＝0时应分类讨论．当m＝0时，方程无实根，B＝∅，也满足BA，上述解法未考虑此种情形．【正解】∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，且BA．∴①当B＝∅时，方程mx＋1＝0无解，故m＝0；②当B≠∅时，则B＝－1m.若－1m＝－3，则m＝13；若－1m＝2，则m＝－12.综上，m的值为0或－12或13.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值是()A．0B．－1C．0或－1D．－1或0或1解析：∵B⊆A，∴m＝－1或m＝0.答案：C2．已知集合A＝{0,1,2}，则A的所有真子集的个数是()A．3个B．4个C．7个D．8个解析：∵集合A含有3个元素，∴真子集有23－1＝7个．(或用列举法写出所有真子集)答案：C3．若{a,0,1}＝c，1b，－1，则a＝________，b＝________，c＝________.解析：由集合相等知：a＝－1，c＝0，1b＝1，∴a＝－1，b＝1，c＝0.答案：－1104．已知集合A＝{x|x≤3}，集合B＝{x|x＜a}．(1)若B⊆A，则a的取值范围是________；(2)若AB，则a的取值范围是________．解析：(1)如图：若B⊆A，则a≤3.(2)若AB，则3＜a.答案：(1)a≤3(2)a＞35．已知集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，试证明A＝B．证明：①设x0∈A，则x0＝2n0＋1，n0∈Z.若n0是偶数，可设n0＝2k，k∈Z，则x0＝4k＋1，∴x0∈B．若n0是奇数，可设n0＝2k－1，k∈Z，则x0＝2(2k－1)＋1＝4k－1，∴x0∈B．∴不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈B，∴A⊆B．②又设y0∈B，则y0＝4k0±1，k0∈Z.则y0＝4k0＋1＝2·2k0＋1或y0＝4k0－1＝2(2k0－1)＋1，∵k0∈Z，∴2k0∈Z,2k0－1∈Z，∴y0＝2k＋1，k∈Z，∴y0∈A，∴B⊆A．由①②知A＝B．