2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末归纳整合课件 新人教A版选修1-1

章末归纳整合对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．专题一定义的应用【例1】如图所示，已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点．P为双曲线上一点且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝ca＝2，∴c＝2a.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2且S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12.∴所求的双曲线的标准方程为x24－y212＝1.方法点评：利用双曲线的定义寻找等量关系，从而求得双曲线方程，利用定义使问题简便易行．遇到椭圆或双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题还要注意整体代换和余弦定理的运用．变式训练1.过抛物线y2＝4x的焦点的一条直线交抛物线于A，B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则△ABC的边长是()A．8B．10C．12D．14【答案】C【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设AB的中点为M，过A，B，M分别作AA1，BB1，MN垂直准线x＝－1于A1，B1，N，如图．设∠AFx＝θ，由抛物线定义知|MN|＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12|AB|.∵|MC|＝32|AB|，∴|MN|＝13|MC|.∵∠CMN＝90°－θ，∴cos∠CMN＝cos(90°－θ)＝|MN||MC|＝13，即sinθ＝13.又由|AF|＝|AA1|＝2＋|AF|cosθ，得|AF|＝21－cosθ，同理，|BF|＝21＋cosθ，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝4sin2θ＝12.故选C.圆锥曲线的最值与范围问题属一类问题，解法是统一的，主要有几何与代数法，其中包括数形结合法、函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等，主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思维能力．专题二圆锥曲线中的最值【例2】如图，已知定点A(2，2)，B(5,4)，P是椭圆C：x225＋y29＝1上任一点．(1)求|PF2|＋|PB|的最小值；(2)求|PF2|＋|PA|的最小值和最大值．解：(1)P，B，F2三点不共线时，构成三角形，两边之和大于第三边，即|PF2|＋|PB||BF2|；当点P落在B和F2连线上时，|PF2|＋|PB|＝|BF2|.又F2(4,0)，|BF2|＝5－42＋4－02＝17，所以|PF2|＋|PB|的最小值是|BF2|＝17.(2)由椭圆定义，得|PF2|＋|PA|＝2a＋|PA|－|PF1|.－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|，当P，A，F1三点共线时，取得最值．又a＝5，F1(－4,0)，|AF1|＝2＋42＋2－02＝210，所以|PF2|＋|PA|∈[10－210，10＋210]，即|PF2|＋|PA|的最小值为10－210，最大值为10＋210.【方法点评】求已知两线段和或差的最值和范围可以通过三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解．变式训练2.如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．解：(1)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.∵AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)．由y2＝4x，x＝sy＋1，消去x，得y2－4sy－4＝0，∴y1y2＝－4，∴B1t2，－2t.又直线AB的斜率为2tt2－1，∴直线FN的斜率为－t2－12t.从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，∴Nt2＋3t2－1，－2t.设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，于是m＝2t2t2－1＝2＋2t2－1.∴m0或m2.经检验，m0或m2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．一般地，求轨迹方程有直接求法和间接求法，直接求法主要是定义法，间接求法包括转移法、参数法、代换法等．专题三轨迹问题的探求方法【例3】已知椭圆x29＋y24＝1及点D(2,1)，过点D任意引直线交椭圆于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程．解：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB所在直线的斜率为k，则4x21＋9y21＝36，①4x22＋9y22＝36.②①－②，得4(x1－x2)(x1＋x2)＋9(y1－y2)(y1＋y2)＝0.∵M(x，y)为AB中点，∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.∴4×2x(x1－x2)＋9×2y(y1－y2)＝0.当x1≠x2时，k＝y1－y2x1－x2＝－4x9y.又k＝y－1x－2，∴y－1x－2＝－4x9y.化简得4x2＋9y2－8x－9y＝0.∵当x1＝x2时，中点M(2,0)满足上述方程，∴点M的轨迹方程为4x2＋9y2－8x－9y＝0.【方法点评】运用设而不求法求直线斜率时一定要注意分x1≠x2和x1＝x2两种情况讨论，同时注意对结果进行检验，一般是用“Δ0”．【例4】设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．解：(方法一，直接法)设点B坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为x－122＋y2＝14(去掉原点)．(方法二，几何法)设点B坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M12，0，如图，则|MB|＝12|OC|＝12，故点B的轨迹方程为x－122＋y2＝14(去掉原点)．(方法三，代入法)设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x，y)，由题意得x＝x12，y＝y12，即x1＝2x，y1＝2y.又因为(x1－1)2＋y21＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.所以点B的轨迹为x－122＋y2＝14(去掉原点)．(方法四，交点法)设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，点B坐标为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－1k(x－1)，直线OA，BC的方程联立消去k，即得其交点轨迹方程：y2＋x(x－1)＝0，即x－122＋y2＝14(x≠0,1)．显然B(1,0)满足x－122＋y2＝14，故x－122＋y2＝14(去掉原点)为所求．变式训练3.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N12，1的直线l交动点M的轨迹于C，D两点且N为线段CD的中点，求直线l的方程．【解析】(1)设M(x，y)，∵直线AM与直线BM的斜率之积为－2，∴yx＋1·yx－1＝－2，化简得x2＋y22＝1(x≠±1)．∴动点M的轨迹方程为x2＋y22＝1(x≠±1)．(2)根据题意可得直线l的斜率存在，设l：y－1＝kx－12，C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入椭圆方程，整理可得(2＋k2)x2－k(k－2)x＋－12k＋12－2＝0，∴x1＋x2＝kk－22＋k2.∵N12，1为CD的中点，∴kk－22＋k2＝1，解得k＝－1.∴直线l的方程为2x＋2y－3＝0.【方法点评】对于求轨迹方程问题，要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型．求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上．圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，注意在知识交汇处的命题．1．(2018年浙江)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0,2)【答案】B【解析】双曲线的焦点在x轴上，c＝3＋1＝2，所以双曲线的焦点坐标为(±2,0)．2．(2018年新课标Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．2B．2C．322D．22【答案】D【解析】由ca＝2，得c2a2＝a2＋b2a2＝2，解得a＝b，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.所以点(4,0)到C的渐近线的距离d＝|±4|2＝22.故选D．3．(2018年北京)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．【答案】(1,0)【解析】将x＝1代入y2＝4ax，得y2＝4a，显然a＞0，∴y＝±2a.∵l被抛物线截得的线段长为4，∴4a＝4，解得a＝1.∴y2＝4x，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．4．(2018年新课标Ⅰ)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2，0.(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，求证：∠OMA＝∠OMB．解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1，代入x22＋y2＝1，得点A的坐标为1，22或1，－22.∴直线AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜2，x2＜2.直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝2kx1x2－3kx1＋x2＋4kx1－2x2－2.将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.∴2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.∴kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB．