第三章三角恒等变形§3二倍角的三角函数(2)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|,能利用二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出半角公式.半角公式sinα2=______________;cosα2=______________;tanα2=______________=sinα1+cosα=1-cosαsinα.±1-cosα2±1+cosα2±1-cosα1+cosα练一练(1)若cosα=13,且α∈(0,π),则cosα2的值为()A.63B.-63C.±63D.±33(2)已知sinθ=-35,3π<θ<7π2,则tanθ2=________.解析:(1)∵α∈(0,π),∴α2∈0,π2,∴cosα2=1+cosα2=23=63.(2)根据θ的范围,求出cosθ后代入公式计算,即由sinθ=-35,3π<θ<7π2,得cosθ=-45,从而tanθ2=sinθ1+cosθ=-351-45=-3.答案:(1)A(2)-3应用半角公式应注意什么?答:要特别注意公式中的根号前的双重符号,它取决于α2所在的位置,如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号,若给出了角α的具体范围,则先求出α2所在的范围,再选择合适的符号.典例精析规律总结课堂互动探究1化简求值类型化简sinα2-cosα21+cosα+sinα2+2cosα3π2<α<2π.【解】∵3π2<α<2π,∴3π4<α2<π,∴原式=sinα2-cosα22cos2α2+2sinα2cosα24cos2α2=2cosα2sinα2-cosα2cosα2+sinα2-2cosα2=cos2α2-sin2α2=cosα.【方法总结】对于三角函数式的化简有下面的要求:(1)能求出值的应求出值;(2)使三角函数种数尽量少;(3)使三角函数式中的项数尽量少;(4)尽量使分母不含有三角函数;(5)尽量使被开方数不含三角函数.化简:cosθ2sinθ2-tanθ21+tanθ·tanθ2.解:解法一:(半角正切公式)因为tanθ2=sinθ1+cosθ=1-cosθsinθ,则有cosθ2sinθ2=1tanθ2=sinθ1-cosθ=1+cosθsinθ.所以cosθ2sinθ2-tanθ2=1+cosθsinθ-1-cosθsinθ=2cosθsinθ.1+tanθ·tanθ2=1+sinθcosθ·1-cosθsinθ=1+1-cosθcosθ=1cosθ.所以cosθ2sinθ2-tanθ21+tanθ·tanθ2=2cosθsinθ·1cosθ=2sinθ.解法二:(切化弦)cosθ2sinθ2-sinθ2cosθ2=cos2θ2-sin2θ2sinθ2cosθ2=cosθ12sinθ=2cosθsinθ.1+tanθ·tanθ2=1+sinθcosθ·sinθ2cosθ2=1+2sinθ2·cosθ2cosθ·sinθ2cosθ2=1+2sin2θ2cosθ=1+1-cosθcosθ=1cosθ.所以cosθ2sinθ2-tanθ21+tanθ·tanθ2=2cosθsinθ·1cosθ=2sinθ.2条件求值类型已知sinφcosφ=60169,且π4<φ<π2,求sinφ,cosφ的值.【解】∵sinφcosφ=60169,∴sin2φ=120169,又∵π4<φ<π2,∴π2<2φ<π,sinφ>0,cosφ>0,∴cos2φ<0,∴cos2φ=-1-sin22φ=-1-1201692=-119169,∴sinφ=1-cos2φ2=1+1191692=1213,cosφ=1+cos2φ2=1-1191692=513.【方法总结】已知角α的某三角函数值,用半角公式可求α2的正弦、余弦、正切值,思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值,再用半角公式求解.已知25sin2α+sinα-24=0,α是第二象限角,则cosα2的值等于()A.±35B.35C.-35D.以上均不正确解析:∵25sin2α+sinα-24=0,∴(sinα+1)(25sinα-24)=0,∴sinα=2425或sinα=-1(舍去),又∵α为第二象限角,∴α2为第一或第三象限角,∴cosα=-725.∴cosα2=±1+cosα2=±35.答案:A3化简与证明类型求证:sin2x2cosx1+tanx·tanx2=tanx.【证明】证法一:左边=2sinxcosx2cosx1+sinxcosx·1-cosxsinx=sinx1+1-cosxcosx=sinxcosx=tanx=右边.∴原式成立.证法二:左边=sin2x2cosx·tanx-tanx2tanx-x2=sin2x2cosx·sinxcosx-sinx2cosx2tanx2=sin2x2cosx·sinxcosx2-sinx2cosxcosxcosx2·tanx2=2sinxcosx2cosx·sinx2cosxcosx2·tanx2=sinxcosx=tanx=右边.∴原式成立.【方法总结】证明三角恒等式常用的方法是:观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异),从解决某一差异入手(同时消除其他差异),决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简),当差异不易消除时,可采用转换命题法或用分析法等方法作进一步的化简.求证:2(1+cosα)-sin2α=4cos4α2.证明:左边=2×2cos2α2-2sinα2cosα22=4cos2α2-4sin2α2cos2α2=4cos2α21-sin2α2=4cos4α2=右边.∴原式成立.化简1+sinθ-1-sinθ,θ∈(0,π).【错解】原式=sin2θ2+cos2θ2+2sinθ2cosθ2-sin2θ2+cos2θ2-2sinθ2cosθ2=sinθ2+cosθ22-sinθ2-cosθ22=sinθ2+cosθ2-sinθ2-cosθ2=2cosθ2.【错因分析】开方时未判断三角函数值的符号.【正解】原式=sinθ2+cosθ22-sinθ2-cosθ22=sinθ2+cosθ2-sinθ2-cosθ2.∵θ∈(0,π),∴θ2∈0,π2.(1)当θ2∈0,π4时,cosθ2≥sinθ2,此时原式=sinθ2+cosθ2-cosθ2+sinθ2=2sinθ2.(2)当θ2∈π4,π2时,cosθ2sinθ2,此时原式=sinθ2+cosθ2-sinθ2+cosθ2=2cosθ2.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一求值1.已知cosθ=-15,5π2<θ<3π,那么sinθ2等于()A.105B.-105C.155D.-155解析:∵5π2<θ<3π,∴5π4<θ2<3π2,∴sinθ2<0.由cosθ=1-2sin2θ2,得sinθ2=-1-cosθ2=-1+15×12=-155.答案:D2.若2sinα=1+cosα,则tanα2=()A.12B.12或不存在C.2D.2或不存在解析:由2sinα=1+cosα,得4sinα2·cosα2=2cos2α2,当cosα2=0时,tanα2不存在;当cosα2≠0时,tanα2=12.答案:B知识点二条件求值3.若cosπ4-θcosπ4+θ=26,则cos2θ=()A.23B.24C.76D.64解析:解法一:∵cosπ4-θcosπ4+θ=26,∴22(cosθ+sinθ)·22(cosθ-sinθ)=26,∴cos2θ-sin2θ=23,即cos2θ=23.解法二:∵π4-θ+π4+θ=π2,∴cosπ4-θ=sinπ4+θ,∴cosπ4-θcosπ4+θ=sinπ4+θcosπ4+θ=12sin2π4+θ=12sinπ2+2θ=12cos2θ=26,∴cos2θ=23.答案:A4.已知sinα=12+cosα,且α∈0,π2,则cos2αsinα-π4的值为________.解析:由已知得sinα-cosα=12,又(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,∴(sinα+cosα)2=74.∵α∈0,π2,∴sinα+cosα=72.∴cos2αsinα-π4=cos2α-sin2α22sinα-cosα=-2(sinα+cosα)=-2×72=-142.答案:-1425.已知sinπ4-x=35,17π12x7π4.求1-tanx2sin2x+sin2x的值.解:由sinπ4-x=35,得cosx-sinx=325,将上式两边平方得2sinxcosx=725.所以(cosx+sinx)2=1+2sinxcosx=1+725=3225,又由17π12x7π4,sinx+cosx0,所以sinx+cosx=-425.原式=1-sinxcosx2sinxsinx+cosx=cosx-sinx2sinxcosxsinx+cosx,将cosx-sinx=325,2sinxcosx=725,sinx+cosx=-425代入上式得原式的值为-7528.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数(2)课件 北师大版必修4
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