（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法课件

第七章不等式第2讲一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式axb(a≠0)的解集(1)当a0时，解集为_________；(2)当a0时，解集为__________．xxbaxxba2．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集__________________________________R{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________________{x|x1xx2}∅∅判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()√√××√(教材习题改编)不等式2x2－x－30的解集为()A．x－1x32B．xx32或x－1C．x－32x1D．xx1或x－32解析：选B.2x2－x－30⇒(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1.所以不等式2x2－x－30的解集为xx32或x－1.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2，3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．13，12D．－∞，13∪12，＋∞解析：选A.由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2，3)．若不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．解析：因为不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，所以Δ＝a2－4×40，即a216.所以a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．解析：由题意知：Δ＝(m＋1)2＋4m0.即m2＋6m＋10，解得：m－3＋22或m－3－22.答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)解不含参数的一元二次不等式；(2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．一元二次不等式的解法角度一解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)－x2－2x＋3≥0；(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x0，解不等式f(x)3.【解】(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(2)由题意x≥0，x2＋2x3或x0，－x2＋2x3，解得x1.故原不等式的解集为{x|x1}．角度二解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－axa2(a∈R)．【解】因为12x2－axa2，所以12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为xx－a4，或xa3；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为xxa3，或x－a4.综上所述：当a0时，不等式的解集为xx－a4，或xa3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a0时，不等式的解集为xxa3，或x－a4.角度三已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax2－bx－10的解集是x－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．【解析】由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【答案】{x|x≥3或x≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．1．若集合A＝xxx－1≤0，B＝{x|x22x}，则A∩B＝()A．{x|0x1}B．{x|0≤x1}C．{x|0x≤1}D．{x|0≤x≤1}解析：选A.因为A＝xxx－1≤0＝{x|0≤x1}，B＝{x|x22x}＝{x|0x2}，所以A∩B＝{x|0x1}，故选A.2．不等式0x2－x－2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，即（x－2）（x＋1）0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]3．已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b；(2)解不等式x－cax－b＞0(c为常数)．解：(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即b＝2a，1＋b＝3a.所以a＝1，b＝2.(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围；(3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围．一元二次不等式恒成立问题角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需a＞0，Δ＝22－4×2a＜0，解得a＞12.综上，所求实数a的取值范围是12，＋∞.【答案】12，＋∞角度二形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是()A．－∞，1－32B．1＋32，＋∞C．－∞，1－32∪1＋32，＋∞D．1－32，1＋32【解析】因为x∈(0，2]，所以a2－a≥xx2＋1＝1x＋1x.要使a2－a≥1x＋1x在x∈(0，2]时恒成立，则a2－a≥1x＋1xmax，由基本不等式得x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，即1x＋1xmax＝12.故a2－a≥12，解得a≤1－32或a≥1＋32.【答案】C角度三形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________．【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.【答案】{x|x＜1或x＞3}(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)三个“二次”间的转化二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题．(2019·温州八校联考)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝0时，f(x)＝－10恒成立，当m≠0时，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.综上，－4m≤0，故m的取值范围是(－4，0]．(2)不等式f(x)5－m，即(x2－x＋1)m6，因为x2－x＋10，所以m6x2－x＋1对于x∈[1，3]恒成立，只需求6x2－x＋1的最小值，记g(x)＝6x2－x＋1，x∈[1，3]，记h(x)＝x2－x＋1＝x－122＋34，h(x)在x∈[1，3]上为增函数，则g(x)在[1，3]上为减函数，所以g(x)min＝g(3)＝67，所以m67.所以m的取值范围是－∞，67.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为12万元辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；一元二次不等式的应用(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解】(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－（12－10）×100000，0x1，即－6000x2＋200