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1第5讲古典概型基础知识整合1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是□01互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成□02基本事件的和．2．古典概型(1)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概型的概率公式P(A)＝□05A包含的基本事件的个数基本事件的总数.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．1．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是()A.34B.14C.12D.38答案C解析从10件产品中任取4件有C410种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有C37C13种取法，则所求的概率P＝C37C13C410＝12.2．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56答案C解析从4种不同的花中任取2种共有C24＝6种选法，其中红色和紫色的花不在同一花2坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，故红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝46＝23.故选C.3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法共有C25种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有C14种，故所求事件的概率P＝C14C25＝410＝25.故选C.4．(2019·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是()A.35B.25C.13D.23答案D解析取出的两个数是连续自然数的有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－5C26＝1－515＝23.故选D.5．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．答案310解析所求概率P＝C23C25＝310.6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为________(结果用最简分数表示)．答案28145解析解法一：由题意知本题属古典概型．概率为P＝C127C13＋C23C230＝28145.解法二：本题属古典概型．概率为P＝1－C227C230＝28145.核心考向突破考向一简单的古典概型例1(1)(2018·湖南长沙模拟)某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.25B.35C.13D.23答案B3解析从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数n＝C25＝10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数m＝C13C12＝6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝mn＝610＝35.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为345＝115，选C.触类旁通求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.即时训练1.若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是()A.112B.16C.14D.12答案B解析依题意，所求概率为P＝A22A22A44＝16.故选B.2．(2019·贵州贵阳摸底)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为()A.89B.49C.29D.827答案B解析基本事件总数n＝34＝81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m＝C24A33＝36，故这三个项目都有人参加的概率为P＝mn＝3681＝49.考向二较复杂的古典概型角度1古典概型与平面向量的交汇例2(1)(2019·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是()4A.512B.12C.712D.56答案C解析cosθ＝a·b|a||b|＝m－n|a||b|.∵θ∈0，π2，∴m≥n.(m，n)一共有6×6＝36(种)不同组合．满足m≥n的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)．所以所求的概率P＝2136＝712.(2)(2019·宿迁模拟)已知k∈Z，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,4)，若|AB→|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．答案37解析因为|AB→|＝k2＋1≤4，所以－15≤k≤15，因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由AB→·AC→＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为BC→＝AC→－AB→＝(2－k,3)，由AB→·BC→＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由AC→·BC→＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝37.角度2古典概型与平面几何的交汇例3(1)(2019·山东实验中学模拟)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为()A.16B.14C.13D.12答案A解析l2的斜率小于l1斜率时，直线l1与l2的交点位于第一象限，此时共有六种：a＝1，b∈{3,4,5,6}；a＝2，b∈{5,6}；因此概率为66×6＝16.故选A.(2)(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．答案712解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有C16C16＝365种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，a2≤b2的数组(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.角度3古典概型与函数的交汇例4(1)(2019·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.12B.13C.14D.18答案C解析易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.故选C.(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是()A.916B.716C.14D.316答案A解析记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．又a0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥b23.当b＝1时，有a≥13，故a可取1,2,3,4，共4个数；当b＝2时，有a≥43，故a可取2,3,4，共3个数；当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；当b＝4时，有a≥163，故a无可取值．综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9种．又a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16种．故所求事件A的概率为P(A)＝916.故选A.触类旁通较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．即时训练3.设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()6A.18B.14C.13D.12答案A解析有序数对(m，n)的所有可能结果有4×4＝16(个)．由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为()A.14B.38C.12D.58答案B解析直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则ba1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.5．(2019·河南郑州模拟)已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋1，其中a为2,4中任取的一个数，b为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们与在直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是________．答案215解析抛物线共有6条，任取两条共15种情况．与在x＝1处的切线相互平行的有2种情况，所以所求概率为215.考向三古典概型与统计的交汇问题例5(2019·长春模拟)某教师为了了解高三所教两个班级的一模数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．7(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．解(1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为2050＝25；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为1848＝38.(3)从5人中抽取3人的不同情况共有C35种，其中至多有1人的数学成绩在140分以上的情况有C12C23＋C33种，故至多有1人的数学成绩在140分以上的概率P＝C12C23＋C33C35＝710.触类旁通求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．进行统计与古典概型概率的正确计算.即时训练6.某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，