2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2 2.2 圆的一般方程学案 北师大版必修2

-1-2.2圆的一般方程学习目标核心素养1.掌握圆的一般方程．(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件．(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程．(难点)1.通过学习圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件提升数学抽象素养.2.通过求圆的一般方程及与圆有关动点的轨迹方程，培养数学运算素养.圆的一般方程(1)圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：方程条件方程的解的情况图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F0没有实数解不表示任何图形D2＋E2－4F＝0只有一个实数解表示一个点－D2，－E2D2＋E2－4F0无数个解表示以－D2，－E2为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆思考：若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？提示：若方程表示圆，则应满足三个条件：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF0.1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为()A．(2,0)，5B．(2,0)，5C．(0,2)，5D．(2,2)，5B[x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，∴圆心为(2,0)，半径r＝5.]-2-2．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．－∞，54[若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则(－2)2＋12－4k0.∴k54.]3．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.3[圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.]二元二次方程与圆的关系【例1】判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由．[解]法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝12D2＋E2－4F＝5|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝5|m－2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即1x2与y2的系数是否相等；2不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，-3-解得m＜15，故m的取值范围为－∞，－15.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.求圆的一般方程【例2】求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程．[思路探究]设圆的一般式方程→代入点的坐标→得到圆的方程[解]设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是－D2，－E2，由题意知，－D2＝－E2，2－D＋E＋F＝0，10＋3D－E＋F＝0，解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：1如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.2如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.2．已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求△ABC外接圆的方程．[解]设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，∴它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：即F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，解此方程组，可得D＝－8，E＝6，F＝0，∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.与圆有关的动点轨迹问题【例3】已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程．(轨-4-迹方程是动点坐标所满足的方程)[思路探究]设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足的条件，从而求出轨迹方程．[解]如图，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，BC中点为D(x0，y0)，则x0＝x＋a2，y0＝y2，①因为|AD|＝m，所以(x0＋a)2＋y20＝m2.②将①式代入②式整理得(x＋3a)2＋y2＝4m2.因为C不能在x轴上，所以y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．求与圆有关的轨迹问题常用的方法：(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．3．已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆(x－1)2＋y2＝2上运动，求线段AB的中点M的轨迹．[解]设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(5,3)且M是AB的中点，所以x＝x0＋52，y＝y0＋32，所以x0＝2x－5，y0＝2y－3.①因为点A在圆(x－1)2＋y2＝2上运动，所以点A的坐标适合方程(x－1)2＋y2＝2，即(x0－1)2＋y20＝2.②把①代入②，得(2x－5－1)2＋(2y－3)2＝2，整理得(x－3)2＋y－322＝222.-5-所以M的轨迹是以3，32为圆心，22为半径的圆．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F＞0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．思考辨析(1)平面内任何一个圆的方程都是关于x，y的二元二次方程．()(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．()(3)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆．()(4)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()[解析](3)×，只有当D2＋E2－4F0时才表示圆．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(－1，－2)B[将圆的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2)．]3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2B．m12C．m2D．m≤12B[由r＝12D2＋E2－4F0，得(－1)2＋12－4m0，即m12.]4．已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.-6-故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.