2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.1 两角差的余弦函数 2.2 两角和与

-1-2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式．(重点)3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)1.通过推导两角差的余弦公式、两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式体会逻辑推理素养．2.通过利用公式解决简单的化简求值问题提升数学运算素养.1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(Cα－β)2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(Cα＋β)3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(Sα＋β)，(2)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(Sα－β)．思考：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？[提示]sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β＝cosπ2－αcosβ＋sinπ2－αsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.1．cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A．12B．－12C．0D．1C[逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°－sin75°·sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.]-2-2．cos75°＝________.6－24[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝6－24.]3．cos(x－y)cosy－sin(x－y)siny＝________.cosx[原式＝cos[(x－y)＋y]＝cosx．]4．cos66°·cos36°＋cos24°·cos54°的值为________．32[cos66°·cos36°＋cos24°·cos54°＝cos66°·cos36°＋sin66°·sin36°＝cos(66°－36°)＝cos30°＝32.]给角求值【例1】求下列各式的值：(1)cos105°＋sin195°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sinπ12－3cosπ12.[解](1)cos105°＋sin195°＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°)＝－sin15°－sin15°＝－2sin15°＝－2sin(45°－30°)＝－2(sin45°·cos30°－cos45°·sin30°)＝－222×32－22×12＝2－62.(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(3)法一：sinπ12－3cosπ12-3-＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2×22＝－2.法二：sinπ12－3cosπ12＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝－2sinπ3－π12＝－2sinπ4＝－2×22＝－2.解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”.1．求下列式子的值：(1)cos(－15°)；(2)sin795°.[解](1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)sin795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.-4-给值求值【例2】已知0βπ4，π4α3π4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．[思路探究]注意3π4＋β－π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求sin(α＋β)．[解]∵π4α3π4，∴－π2π4－α0.∴sinπ4－α＝－1－352＝－45.又∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ，∴cos3π4＋β＝－1－5132＝－1213，sin(α＋β)＝－cosπ2＋α＋β＝－cos3π4＋β－π4－α＝－cos3π4＋βcosπ4－α－sin3π4＋βsinπ4－α＝－－1213×35－513×－45＝5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．-5-2．已知α，β是锐角，且sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sinβ的值．[解]∵α是锐角，且sinα＝437，∴cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17.又∵sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝1－－11142＝5314，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝5314×17－－1114×437＝32.给值求角[探究问题]1．给值求角的实质是什么？[提示]给值求角即求该角的某种三角函数值．2．给值求角的关键是什么？[提示]关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．3．常用的角的变换技巧有哪些？[提示]互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．【例3】已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求α.[思路探究]先计算sinα后再根据α∈0，π2确定角α大小．[解]∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈－π2，0，sinβ＝－210，-6-∴cosβ＝7210，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22.又∵α∈0，π2，∴α＝π4.1．将例3的条件变为“α、β为锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114”，试求β的值．[解]∵α、β∈0，π2且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈0，π2，∴β＝π3.2．将例3中的条件变为“α、β均为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010”，试求α＋β的值．[解]因为α，β都是锐角，所以0απ2，0βπ2，0α＋βπ，又sinα＝55，sinβ＝1010，所以cosα＝1－sin2α＝255，cosβ＝31010，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又0α＋βπ，所以α＋β＝π4.-7-1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sinπcosα＋cosπsinα＝－sinα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．()(2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．()(3)sin54°cos24°－sin36°cos66°＝12.()(4)存在α，β，使cos(α－β)＝cosα＋cosβ.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.22[a·b＝cos60°·cos15°＋sin60°·sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.]3．cos345°的值为________．-8-2＋64[cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝2＋64.]4．已知sinπ4－α＝513，求cos2α－sin2αcosπ4－α.[解]cos2α－sin2αcosπ4－α＝cosα－sinαcosα＋sinα22cosα＋sinα＝2(cosα－sinα)＝222cosα－22sinα＝2sinπ4－α＝1013.