2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教A

13．1.2用二分法求方程的近似解[目标]1.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度ε与近似值的区别．[重点]二分法求方程的近似解．[难点]二分法定义的理解.知识点一二分法的概念[填一填]对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[答一答]1．用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：①f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)0.2．是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间．只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间．3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点吗？提示：2对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)·f(b)0，如图所示．知识点二用二分法求函数fx零点近似值的步骤[填一填](1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．[答一答]4．“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，具体说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.1415926…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.1416，精确到0.0001(即万分位)．5．你知道为什么当|a－b|ε时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？3提示：当|a－b|ε时，由于方程根的真实值x0∈[a，b]，所以|a－x0||a－b|ε，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因同样.类型一二分法的概念[例1]下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()[答案]C[解析]对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点．2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[变式训练1]如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(A)4解析：按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.类型二二分法的步骤[例2]用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.125)[答案]A[解析]二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)0，f(0.5)0，知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的准确位置．用二分法求函数零点近似值的注意点1在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；②fa，fb的值比较容易计算，且fa·fb0.2二分法仅对函数变号零点即零点两侧某区域内函数值异号适用.3利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.[变式训练2]某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)等分(C)A．2次B．3次C．4次D．5次解析：将区间(0,1)等分1次，区间长度为0.5;等分2次，区间长度为0.25；……等5分4次，区间长度为0.06250.1，符合题意，故选C.类型三用二分法求函数零点的近似解[例3]判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．[分析]由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．[解]因为f(1)＝－10,f(1.5)＝0.8750，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.375－1.3125|＝0.06250.1，所以函数的一个近似零点可取1.3125.此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算.[变式训练3]用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－40，f(2)＝22＋2－40.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x1＝1.5f(x1)＝0.330(1,1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.3706(1.25,1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.0310(1.375,1.5)∵|1.375－1.5|＝0.1250.2，∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.1．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是(B)A．(－2.1，－1)B．(1.9,2.3)C．(4.1,5)D．(5,6.1)解析：函数f(x)在区间(1.9,2.3)内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点．2．用二分法求方程f(x)＝0在区间[1,2]内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝2，f(2)＝－2，f32＝6，则下列结论正确的是(C)A．x0∈1，32B．x0＝32C．x0∈32，2D．x0∈1，32或x0∈32，2解析：∵f(1)＝20，f(2)＝－20，f32＝60，可得方程的根落在区间32，2内．3．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－7b|ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝a＋b2与真实零点的误差最大不超过(B)A.ε4B.ε2C．εD．2ε解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－a＋b2＝a＋b2－a＝b－a2ε2，因此误差最大不超过ε2.4．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx＝2－x的近似数时，设f(x)＝lgx＋x－2，得出f(1)0，且f(2)0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为1.75.解析：先判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为1.5＋22＝1.75.5．求方程lgx＝12x－1的近似解．(精确度：0.1)解：如图所示，由函数y＝lgx和y＝12x－1的图象可知，方程lgx＝12x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．设f(x)＝lgx－12x＋1，f(1)＝120，用计算器计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值区间长度(0,1)0.5－0.00811(0.5,1)0.750.28050.5(0.5,0.75)0.6250.14750.258(0.5,0.625)0.56250.07300.125(0.5,0.5625)0.531250.03330.0625由于区间(0.5,0.5625)的长度为0.06250.1，所以原方程的近似解可取为0.5.——本课须掌握的两大问题1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)0上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．学习至此，请完成课时作业24