2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质教案 文 新人教A版

1第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．2(2)线面角θ的范围：θ∈0，π2.①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角；③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．常用结论1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直二、习题改编1．(必修2P72探究改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析：选C.由题意知，α∩β＝l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l.2．(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心．解析：(1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，3所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直．1．(2020·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.线面垂直的判定与性质(师生共研)4(1)(2018·高考全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.(2)(2020·重庆市七校联合考试)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点．求证：AE⊥平面A1BD.【证明】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC＝CA，D是AC的中点，所以BD⊥AC，因为直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC，所以BD⊥平面AA1C1C，所以BD⊥AE.又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，所以A1D⊥AE.又A1D∩BD＝D，所以AE⊥平面A1BD.判定线面垂直的四种方法5如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.求证：B1N⊥A1C.证明：连接CM，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1.因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM.因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A1C.面面垂直的判定与性质(师生共研)(2019·高考北京卷节选)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.6因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥A­BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.证明：平面ACD⊥平面BDP.证明：因为△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得AD＝CD.因为点P是AC的中点，所以PD⊥AC，PB⊥AC，因为PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDP.直线与平面所成的角(师生共研)(2020·宁夏六盘山高级中学二模)空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，7AC＝BC＝2，PA＝4，则PC和平面PAB所成角的正切值为．【解析】取AB的中点O，连接CO，PO，易知CO⊥平面PAB，则∠CPO为PC和平面PAB所成的角．易得CO＝2，PO＝32，所以tan∠CPO＝COPO＝13，所以PC和平面PAB所成角的正切值为13.【答案】13求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83解析：选C.连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以BB1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝82.2．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积V球＝1605π3，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为．8解析：如图，过点O作OM⊥平面ABCD，垂足为点M，则点M为正方形ABCD的中点．因为正方形ABCD的边长为2，所以AC＝22，所以AM＝2.因为V球＝43πr3＝1605π3，所以球O的半径OA＝r＝25，OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM＝AMOA＝225＝1010.答案：1010核心素养系列16逻辑推理——空间中平行与垂直的证明如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，9所以PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.本题考查数学核心素养中的逻辑推理及直观想象、逻辑推理让学生能发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力．(2020·太原市模拟试题(一))如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P­NBM的体积．解：(1)证明：连接BD.因为PA＝PD，N为AD的中点，所以PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以BN⊥AD.又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PNB.(2)因为PA＝PD＝AD＝2，所以PN＝NB＝3.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，所以PN⊥平面ABCD.所以PN⊥NB，所以S△PNB＝12×3×3＝32.因为AD⊥平面PNB，AD∥BC，10所以BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，所以VP­NBM＝VM­PNB＝23VC­PNB＝23×13×32×2＝23.[基础题组练]1．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：选B.若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α