初中数学复习专题：求数列通项方法汇总

48教师备案1．已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧．2．教师在上课时需要注意：⑴确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项．⑵明确数列na可以产生衍生数列，如：1,,,nnnnaaanann等等，而这些数列中的“n”也会随着na的项号的变化而变化．这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到，但一定要举一些例子让学生体会．⑶教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为等差数列或等比数列的递推式．⑷高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期数列．比如，21nnnaaa就是周期数列．考点1：叠加法由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下*2nnN，≥）方法1．叠加法：若数列递推公式为1()nnaafn，则通项12()nniaafi．5.1由递推公式求通项公式的方法总结知识点睛49教师备案我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如1nnaafn的递推式，且(2)...()ffn的和是可求的，我们可以用同样的方法来求na，将递推式变形为1nnaa()fn，……212aaf将各式相加，得112nafnfnfa(2)nnN≥，．【铺垫】已知数列{}na满足*111,nnaaannN，求na．【解析】222nnna．【例1】⑴已知数列{}na满足*132()nnaannN，且12,a求na．⑵已知数列{}na满足11a，且113nnnaa（2n≥），求na．⑶已知数列{}na满足11a，111221nnnaan，≥求na．⑷在数列{}na中，12a，11ln1nnaan，则na（）A．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn【解析】⑴232nnna．⑵312nna．⑶2nnan．⑷A；【点评】在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错．正确写出要累加的首项和末项很重要．考点2：叠乘法由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下*2nnN，≥）方法2．叠乘法：若数列递推公式为1()nnafna，则通项1(2)(3)()naafffn．教师备案我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如“1()nnafna”的递推式，且(2)3()fffn的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求na，将递推式变形成1()nnafna，……212afa知识点睛经典精讲50将各式相乘，得112nafnfnfa2nnN≥，．【铺垫】已知数列{}na中，1111nnanaan，，求na．【解析】nan．【例2】⑴已知数列na中，11a，12(1)nnnana，则数列na的通项公式为（）A．2nnB．12nnC．21nnD．12nn⑵已知数列na中11123(2)321nnnaaann，≥，求数列na的通项公式．⑶已知数列{}na中，11a，122,1nnnaaannnN≥，求na．【解析】⑴B．⑵2141nan．⑶12nnan．考点3：构造法由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下*2nnN，≥）方法3．构造法：⑴若数列递推公式为1nnabac(10)bcbcR，，且，，可以设1()nnaba成立，解得1cb，即1ncab是等比数列．⑵1()nnabacn（其中bR，且0b，1b，()cn是关于n的多项式函数），可设1()((1))nnagnbagn，其中()gn为与()cn的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较(1)()bgngn与()cn的各项系数确定待定系数，即nagn为等比数列；⑶1nnnabacq，其中bcqR，，且0b，1b，0q，1q．①若bq，则11nnnnaacqq，即nnaq为等差数列；②若bq，则可以设11()nnnnaAqbaAq；也可两边同时除以nb或nq：得11nnnnnaaqcbbb或11nnnnaabcqqq．教师备案构造法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列（叠加）、类似等比数列（叠乘）．它主要处经典精讲知识点睛51理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：⑴1nnabac；⑵1()nnabacn．这两种递推形式的处理方式如下：⑴1nnabac，0b；与等比数列的递推公式1nnaba作对比，发现多一个常数c，故考虑构造一个等比数列，于是令1()nnaba，解得，从而得到na的表达式，解得na的表达式；例3⑴就是这种形式．⑵1()nnabacn，①当1b时，即1()nnaacn，且数列{()}cn可以求和时，就是“叠加法”的情形，即112211()()()nnnnnaaaaaaaa；②当1b时，ⅰ．()cn是等差数列()cnpnq，故()cn也可以像c一样分解：令1(1)()nnaAnBbaAnB，可解得AB，的值，于是()naAnB成等比数列，可得到{}na的通项公式．例3⑵就是这种形式．ⅱ．当()cn成等比数列时，即1nnnabacq，若bq，两边同除以1nq，则11nnnnaacqqq，得到数列nnaq是一个等差数列；若bq，则用待定系数法：设11()nnnnaAqbaAq；也可两边同时除以1nb或1nq：得11nnnnnaacqbbbb或11nnnnaabcqqqq，前边的递推式中nnab可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用（ⅰ）中的待定系数法得到一个等差数列．例3⑶就是这种形式．【例3】⑴在数列{}na中，11a，当2n≥时，有132nnaa，求na．⑵在数列na中，12a，1431nnaan，nN．求na．【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？如：在数列na中，2114311nnaana，，nN．求na．⑶已知数列na满足11a，1132(2)nnnaan≥，求na．【解析】⑴1231nna．⑵14nnan．【追问】212222939nnann．⑶132nnna．【挑战十分钟】⑴在数列na中，1122,1nnaaa，求na的通项公式．经典精讲52⑵在数列na中，112,1nnaana，求na的通项公式．⑶在数列na中，1123,1nnnaaa，求na的通项公式．【解析】⑴1322nna．⑵1321nnan．⑶32nnna．【例4】数列na中，11a，11121,2nnnnaan求数列na的通项公式．【解析】21232nnnann．【点评】本题和例3的区别在于，例3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列．考点4：倒数法由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下*2nnN，≥）方法4．倒数法：若数列递推公式为11nnnaabac，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．教师备案除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为1nnnaabac的分式递推数列．这样的数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数后分子上就没有na了，实现了“变量分离”，得到11nncbaa的形式，于是数列1na满足的递推式就可以通过叠加法（1c）或构造法（1c）去求通项了．【例5】⑴已知数列{}na满足11a，134nnnaaa，则na_________．⑵已知在数列na中，111120nnnnaaaaa，，求数列na的通项公式．【解析】⑴21121n；⑵123nan经典精讲知识点睛53考点5：前n项和与通项1．已知nS求na，直接用公式：1112nnnSnaSSn，，≥2．已知na与nS的关系有两种处理方式：⑴把题目中的na用1nnSS替换，转化为关于nS的递推关系，从而得到nS的通项公式，再转为na的通项公式．⑵分别写出nS和1nS的表达式，两式相减转化为关于na的递推关系．注意：使用1nnnaSS得到的通项是在2n≥这个前提下成立的，所以要注意验证1n的情况．教师备案由na与nS的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结．例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以．【铺垫】已知在数列na中，211,,nnaSna求数列na的通项公式．【解析】21nann．【例6】已知数列na中，0na，且对于任意正整数n有112nnnSaa，求通项na．【解析】1nann．【点评】此题即属于将na用1nnSS替换，进而转化为关于nS的递推关系，从而得到nS的通项公式，再转为na的通项公式．如果用nS和1nS的表达式相减的话则很难求出通项．【例7】设na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有的自然数n，na与1的等差中项等于nS与1的等比中项，求数列na的通项公式．【解析】21nan．【备选】（2010朝阳二模理20）已知na是递增数列，其前n项和为nS，11a，且10212nnnSaanN，．⑴求数列na的通项na；⑵是否存在,,mnkN，使得2mnkaaa成立？若存在，写出一组符合条件的,,mnk的值；若不存在，请说明理由．经典精讲5.2,nnSa两种形式的处理知识点睛54【解析】⑴1(51)2nan．⑵满足条件的正整数,,mnk不存在，证明如下：假设存在,,mnkN，使得2mnkaaa．则15151512mnk．整理，得3225mnk………①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数,,mnk不存在．教师备案若数列na的递推公式的一般形式为11nnnapaqa，这时的通项公式也可以求出．分两种情况：①当1pq时，有11()nnnnaaqaa．1nnaa是以21aa为首项，q为公比的等比数列．②当1pq时，存在，满足11()nnnnaaaa，与11nnnapaqa比较系数得p，q．可见，是二次方程20tptq的两个根，通过解此方程求，的值，再进一步推导na的表达式．这种方法又称特征根法．下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要