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1第VI章克罗内克(Kronecker)积及其应用6.1Kronecker积6.1.1Kronecker积的概念定义1—1设A=,)(,)(qpijnmijcbBca××∈=∈则称如下的分块矩阵nqmpmnmmnnCBaBaBaBaBaBaBaBaBaBA×∈=⊗LLLLLLL212222111211为A的克罗内克(Kronecker)积,或称A与B的直积,或张量积,简记为,)(nmijBaBA×=⊗即BA⊗是一个nm×块的分块矩阵,最后是一个nqmp×阶的矩阵。例1—1设,,==yxBdcbaA那么24×==⊗dycydxcxbyaybxaxdBcBbBaBBA24×===⊗dycybyaydxcxbxacydycybyaxdxcxbxayAxAAB由这个例子可以看出,BA⊗与AB⊗一般不是同一矩阵,即Kronecker积不满足交换律,但它们的阶数是相同的。对单位矩阵,有mnnmmnIIIII=⊗=⊗6.1.2Kronecker积的性质不难验证,矩阵的Kronecker积满足下列运算律:21.,)(kBABkABAk⊗=⊗=⊗ck∈;2.分配律CBCACBA⊗+⊗=⊗+)(;3.结合律).()(CBACBA⊗⊗=⊗⊗下面我们来研究Kronecker积的另一个重要性质,这条性质对进一步研究Kronecker积有着重要的作用。定理1—1设,)(,)(,)(,)(trijpnijrsijnmijdDcCbBaA××××====则BDACDCBA⊗=⊗⊗))(((1—1)证因为BDACBDACBDcaDcBaDCBAijnkkjikijij⊗====⊗⊗∑=))(()())(())((1式中(AC)ij是矩阵AC中第i行第j列的元素。证毕推论若,)(,)(nnijmmijbBaA××==则))(())((nmmnIABIBIIABA⊗⊗=⊗⊗=⊗定理1—2设,)(,)(qpijnmijbBaA××==则TTTBABA⊗=⊗)((1—2)HHHBABA⊗=⊗)((1—3)证因为TmnmnBTijTBaaaBaBaBA==⊗LMML1111)()(TTTmnTnTmTBABaBaBaBa⊗==LMML1111同理可证HHHBABA⊗=⊗)(。证毕3定理1—3设A,B分别为m阶和n阶可逆矩阵,则BA⊗也为可逆矩阵,且111)(−−−⊗=⊗BABA(1—4)证由式(1—1)有mnnmIIIBBAABABA=⊗=⊗=⊗⊗−−−−)())((1111即111)(−−−⊗=⊗BABA证毕由式(1—2)、(1—4)可见,对于Kronecker积,转置和求逆的反序法则不再成立,这也是与通常的矩阵乘法的主要区别之一。定理1—4设,)(,)(qpijnmijbBaA××==则)()()(BrankArankBArank=⊗(1—5)证设A与B的标准形为A1与B1,即MAN=A1,PBQ=B1(1—6)其中M、N、P、Q分别为m阶、n阶、p阶和q阶非奇异矩阵,且=00111OOA,=00111OOB1A中数1的个数为rank(A),1B中数1的个数为rank(B)。由式(1—6)有111−−=NAMA,111−−=QBPB于是,由式(1—1)有))()(()()(111111111111−−−−−−−−⊗⊗⊗=⊗=⊗QNBAPMQBPNAMBA由定理1—3知,1111,−−−−⊗⊗QNPM均为非奇异矩阵,故4)()(11BArankBArank⊗=⊗而11BA⊗的秩为)()(BrankArank,于是)()()(BrankArankBArank=⊗证毕定理1—5设mλλλL21,是nmA×的m个特征值,pµµµL,,21是ppB×的p个特征值,那么BA⊗的mp个特征值为).,.2,1;,2,1(pjmijiLL==µλ证由第三章§2知,A与B一定与Jordan标准形相似,即存在可逆矩阵P与Q,使得∗==∗==−−pmJBQQJAPPµµλλ0,012111OO即有1110,0.−−∗=∗=QQBPPApmµµλλOO从而由式(1—1)有11111111)(000)())(00)((−−−⊗∗∗∗⊗=⊗∗⊗∗⊗=⊗QPQPQPQPBApmppmµµλµµλµµλλOOOOO即有5⊗pmmpBAµλµλµλµλOOO1111*~从而BA⊗的mp个特征值为),,1;,,1(pjmijiLL==µλ,证毕定理1—6设A为m阶矩阵,B为p阶矩阵,则()()mpBABA)det()det()det(=⊗(1—7)证设A与B的Jordan标准形分别为1J和2J,于是存在非奇异矩阵P与Q,有2111,JBQQJAPP==−−由式(1—1),有=⊗BA()()1211−−⊗QQJOPPJ()()()121−⊗⊗⊗=QPJJQP于是()21det)det(JJBA⊗=⊗显然,当21,JJ均为下(上)三角矩阵时,()21JJ⊗也为下(上)三角矩阵,故有()21det)det(JJBA⊗=⊗=()()()∏∏∏===pjjmpjjpjj11211µλµλµλL()()∏∏===pjjmjj11µλ()()mpBA)det()det(=其中mλλλ,,21L为A的特征值,pµµµL,,21是B的特征值,证毕定理1—7(1)若A,B均为对角矩阵时,则BA⊗也是对角矩阵;6(2)若A,B均为对称矩阵时,则BA⊗也是对称矩阵;(3)若A,B均为Hermite矩阵时,则BA⊗也是Hermite矩阵;(4)若A,B均为正交(酉)矩阵时,则BA⊗也是正交(酉)矩阵。定理的证明作为练习。由例1—1我们已看到,Kronecker积的交换律不成立,即BA⊗一般不等于AB⊗,但是,我们仍有下面的性质。定理1—8设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则有BA⊗相似于AB⊗。证容易验证,对矩阵nIA⊗进行一系列“相合”变换(对矩阵的行和相应的列进行相同的初等变换,这里是指对调矩阵的第I行与第J行,然后再对调第I列与第J列。),可以变成AIn⊗,即存在一个mn阶置换矩阵(有限个初等矩阵的乘积)P,使()=⊗PIAPnTAIn⊗同理,对矩阵BIm⊗也有()=⊗PBIPmTmIB⊗再由此种初等矩阵的性质知IPPT=,有()=⊗PBAPT()nTIAP⊗()PBIm⊗=()nTIAP⊗TPP()PBIm⊗=(AIn⊗)(mIB⊗)=AB⊗证毕矩阵在Kronecker积的意义下也有幂的概念。定义1—2设有矩阵,nmCA×∈记)(kkAAAA=⊗⊗⊗4434421L个它是一个kknm×阶矩阵。7定理1—9设pnnmCBCA××∈∈,,则)()()()(kkkBAAB=(1—8)证用归纳法,当1=k时,显然成立,设1−k时定理成立,则)1()()()()(−⊗=kkABABAB)()()1()1()1()1())(()(kkkkkkBABBAABAAB=⊗⊗=⊗=−−−−证毕关于Kronecker积的多项式的特征值问题,我们有下面的结论。定理1—10设jipjiijyxayxf∑==0,),(是变量yx,的复系数多项式,对于pnnmCBCA××∈∈,定义nm阶矩阵:jipjiijBAaBAf⊗=∑=0,);((1—9)如果A和B的特征值分别是mλλλ,,21L和nµµµL,,21,它们对应的特征向量分别是mxxxL,,21和nyyyL,,21,则矩阵);(BAf的特征值是);(srfµλ,而对应);(srfµλ的特征向量为sryx⊗),,1;,,1(nsmrLL==。证由rrrxAxλ=,sssyByµ=有rririxxAλ=,sjssjyyBµ=于是))(();(0,srjipjiijsryxBAayxBAf⊗⊗=⊗∑=))((0,srjipjiijyxBAa⊗⊗=∑=)(0,sjripjiijyBxAa⊗=∑=8srjsirpjiijyxa⊗=∑=µλ0,srsryxf⊗=),(µλ证毕特别地,若取xyyxf=),(,则有BABAf⊗=);(应用本定理,便有定理1—5的结论,即推论1BA⊗的特征值为nm个数srµλ),,1;,,1(nsmrLL==,且对应srµλ的特征向量为sryx⊗。若取yxyxf+=),(,即yxxyyxf00),(+=,则BIIABAfmn⊗+⊗=);(应用本定理,便有推论2BIIAmn⊗+⊗的特征值是srµλ+,其对应的特征向量是sryx⊗),,1;,,1(nsmrLL==。矩阵BIIAmn⊗+⊗称为A与B的Kronecker和。最后,我们还要介绍一个在数理统计中很有用的矩阵。定义1—3元素为1或-1的方阵mnRH×∈,若有nTnIHH=(1—10)则称H为n阶哈达马矩阵。定理1—11设mH与nH均为哈达马矩阵,则矩阵nmHH⊗为nm阶的哈达马矩阵。证因为))(())((TnTmnmTnmnmHHHHHHHH⊗⊗=⊗⊗9mnnmTnnTmmmnInImIHHHH=⊗=⊗=)()()()(故按定义,nmHH⊗为nm阶的哈达马矩阵。证毕本节讨论的Kronecker积,特别是哈达马矩阵在数理统计中应用很广。6.2Kronecker积应用举例6.2.1线性矩方程利用矩阵Kronecker积的性质,能够方便地研究一般线性矩方程CXBAXBAXBApp=+++L2211(2—1)的相容性及其解法等问题,这里nmnnimmiCCCBCA×××∈∈∈,,为已知矩阵,nmCX×∈是末知矩阵。对于矩阵方程(2—1)可以转化为通常的线性方程组cGx=(2—2)来讨论,其中系数矩阵G与A、B有头,向量x与矩阵X有头,向量c与矩阵C有头,为此,先引入下面矩阵拉直的概念。矩阵的拉直定义2—1设nmijaA×=)(,将A的各行依次按列纵排得到的nm维列向量,这种运算称为A的拉直,记为Ar,即TmnmmnnaaaaaaaaaA),,,,,,,,,,,,(212222111211LLLLr=(2—3)从定义2—1可看出,A是1×mn阶矩阵,即为一个列向量,这个列向量先把A的第一行按顺序写在前面,依次再写第二行,…,最后写第m行。例2—1设−=1311A,则TA)1,3,1,1(−=r定理2—1拉直算子是线性的,即AkkABABArrr=+=+,10这些都是显然的。定理2—21.,yxxyT⊗=其中yx,为n维列向量;2.,TjiijeeE=其中ijE表示),(ji元素为1,其余元素为0的nm×阶矩阵,ie表示第i个元素为1,其余元素为0的列向量;4.jiijeeE⊗=r.4.=miiiiaaaAeM21;5.TjnjjjaaaAe),,,(21L=;定理2—3设,)(,)(,)(qpijpnijnmijcCbBaA×××===则BCAABCTr)(⊗=(2—4)证证明分两步,先证ijTijECACAEr)(⊗=(2—5)其中ijE为pn×阶矩阵。事实上,jTiTjTjTjiijeCAeeCAeCeAeCAE⊗===)(另一方面,有jTijiTijTeCAeeeCAECA⊗=⊗⊗=⊗))(()(r即证明了式(2—5),下面再证明式(2—4),由于∑∑====niijpjijijEbbB11)(所以11ijnipjijTijniTpjijijnipjijniijpjijEbCAECAbCAEbCEbAABCvv∑∑∑∑∑∑∑∑========⊗=⊗===11111111)()()(BCATr)(⊗=证毕推论设,,,nmnnmmXXBBAA×××===则1.XIAAXnr)(⊗=2
本文标题:克罗内克(Kronecker)积及其应用
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