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专题八《解三角形》讲义知识梳理.解三角形1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．题型一.正弦定理考点1.基本量运算1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若𝑎=1，𝑐=√3，𝐶=𝜋3，则A＝𝜋6．【解答】解：由正弦定理得𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶∴𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐=√32√3=12∴A=𝜋6或5𝜋6∵a＜c故答案为：𝜋62．在△ABC中，cosA=513，sinB=35，a＝20，则b的值为13．【解答】解：∵在△ABC中，cosA=513，∴sinA=√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵=1213．由正弦定理可得：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，∴𝑏=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=20×351213=13．故答案为：13．3．在△ABC中，𝑏=3√2，𝑐𝑜𝑠𝐴=√63，𝐵=𝐴+𝜋2．（1）求a的值；（2）求cos2C的值．【解答】解：（1）∵cosA=√63，0＜A＜π，∴sinA=√33，∴sinB＝sin（A+𝜋2）＝cosA=√63，由正弦定理得：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=3√2√63=3√3，∴a＝3；（2）∵B＝A+𝜋2，∴𝜋2＜B＜π，又∵sinB=√63，∴cosB=−√33，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB=2√23，∴cos2C＝2cos2C﹣1=79．考点2.边角互化1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴)=𝑏，𝐵=60°，则A的大小为75°．【解答】解：∵√3(𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴)=𝑏，𝐵=60°，∴由正弦定理可得：√3（sinAcosC﹣sinCcosA）＝sinB，可得：√3sin（A﹣C）＝sinB=√32，∴sin（A﹣C）=12，∵A+C＝120°，又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，∴A﹣C＝30°，∴解得：A＝75°．故答案为：75°．2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（）A．23B．34C．45D．0【解答】解：∵2a＝3b，∴根据正弦定理得2sinA＝3sinB，且A＝2B，∴2sin2B＝4sinBcosB＝3sinB，且sinB≠0，∴𝑐𝑜𝑠𝐵=34．故选：B．3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA−√3acosB＝2b−√3c，则A＝（）A．𝜋3B．𝜋4C．𝜋6D．2𝜋3【解答】解：∵bsinA−√3acosB＝2b−√3c，∴由正弦定理可得：sinBsinA−√3sinAcosB＝2sinB−√3sinC，∴sinBsinA−√3sinAcosB＝2sinB−√3sinC＝2sinB−√3（sinAcosB+cosAsinB），∴sinBsinA＝2sinB−√3cosAsinB，又∵sinB≠0，∴sinA+√3cosA＝2，∴2sin（A+𝜋3）＝2，可得A+𝜋3=𝜋2+2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），∴A=𝜋6．故选：C．考点3.内角和应用1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=√2，则C＝（）A．𝜋12B．𝜋6C．𝜋4D．𝜋3【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，∴cosAsinC+sinAsinC＝0，∵sinC≠0，∴cosA＝﹣sinA，∴tanA＝﹣1，∵𝜋2＜A＜π，∴A=3𝜋4，由正弦定理可得𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴，∴sinC=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴𝑎，∵a＝2，c=√2，∴sinC=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴𝑎=√2×√222=12，∵a＞c，∴C=𝜋6，故选：B．2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，𝑎𝑐𝑜𝑠𝑐+√3𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑏−𝑐=0，则A＝（）A．𝜋2B．𝜋3C．𝜋4D．𝜋6【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，∴sinAcosC+√3sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，∴√3sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，∵sinC≠0，∴√3sinA＝cosA+1，即𝑠𝑖𝑛𝐴1+𝑐𝑜𝑠𝐴=√33，∴tan𝐴2=𝑠𝑖𝑛𝐴1+𝑐𝑜𝑠𝐴=√33，∴𝐴2=𝜋6，即A=𝜋3．故选：B．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝𝜋6．【解答】解：由B＝π﹣（A+C），可得cosB＝﹣cos（A+C），∴cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC＝1，∴sinAsinC=12，…①又∵（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，可得：2acosB+2bcosA＝a，∴由正弦定理可得：2sinAcosB+2sinBcosA＝sinA，可得：sinA＝2sinC，…②∴①②联解可得，sin2C=14，∵0＜C＜π，∴sinC=12，∵a＝2c，即a＞c，得C为锐角，∴C=𝜋6．故答案为：𝜋6．题型二.余弦定理1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（）A．3𝜋4B．𝜋3C．𝜋4D．𝜋6【解答】解：∵b＝c，∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），∵a2＝2b2（1﹣sinA），∴1﹣cosA＝1﹣sinA，则sinA＝cosA，即tanA＝1，即A=𝜋4，故选：C．2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知3𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐，且a2﹣c2＝2b，则b＝（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：3𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑎𝑐，即为3ccosA＝acosC，即有3c•𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=a•𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏，即有a2﹣c2=12b2，又a2﹣c2＝2b，则2b=12b2，解得b＝4．故选：A．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，𝑠𝑖𝑛𝐶=√2𝑠𝑖𝑛𝐴，则（）A．a＝bB．a＜bC．a＞bD．a与b的大小关系不能确定【解答】解：因为C＝120°，𝑠𝑖𝑛𝐶=√2𝑠𝑖𝑛𝐴，所以由正弦定理可得：c=√2a，由余弦定理cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏，可得：−12=𝑎2+𝑏2−2𝑎22𝑎𝑏，整理可得：a2﹣b2＝ab＞0，可得a2＞b2，可得a＞b．故选：C．4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2﹣c2＝2b，则b＝4【解答】解：∵sinAcosC＝3cosAsinC，∴a×𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=3c×𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐，∴2c2＝2a2﹣b2，∵a2﹣c2＝2b，∴b2＝4b，∵b≠0，∴b＝4．故答案为：4．5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2𝐴2=𝑏+𝑐2𝑐，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵cos2𝐴2=𝑏+𝑐2𝑐，2cos2𝐴2−1＝cosA，∴cosA=𝑏𝑐，∴△ABC是直角三角形．故选：A．题型三.高、中点、角平分线问题1．在△ABC中，B=𝜋4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于（）A．3√1010B．√1010C．−√1010D．−3√1010【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B=𝜋4，BC边上的高AD＝h=13BC=13a，∴BD＝AD=13a，CD=23a，在Rt△ADC中，cosθ=𝐴𝐷𝐴𝐶=𝑎3√(13𝑎)2+(2𝑎3)2=√55，故sinθ=2√55，∴cosA＝cos（𝜋4+θ）＝cos𝜋4cosθ﹣sin𝜋4sinθ=√22×√55−√22×2√55=−√1010．故选：C．2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC=𝜋3，b=√7，c＝2，D为BC的中点．（Ⅰ）求cos∠BAC的值；（Ⅱ）求AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（I）法1：由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=2√7×√32=√3√7⋯（1分）又∵在△ABC中，b＞c，∴C＜B，∴0＜𝐶＜𝜋2⋯（2分）∴𝑐𝑜𝑠𝐶=√1−𝑠𝑖𝑛2𝐶=√1−37=2√7⋯（3分）∴cos∠BAC＝cos（π﹣B﹣C）＝﹣cos（B+C）…（4分）＝﹣（cosBcosC﹣sinBsinC）…（5分）=√32×√3√7−12×2√7=√714⋯（6分）法2：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC…（1分）∴7=4+𝑎2−2×2×𝑎×12，…（2分）∴（a﹣3）（a+1）＝0解得a＝3（a＝﹣1已舍去），…（4分）∴𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶22𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⋯（5分）=4+7−92×2×√7=√714．…（6分）（II）法1：∵𝐴𝐷→=12(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)⋯（8分）∴𝐴𝐷→2=14(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)2=14(𝐴𝐵→2+𝐴𝐶→2+2𝐴𝐵→⋅𝐴𝐶→)⋯（10分）=14(4+7+2×2×√7×√714)=134⋯（11分）∴𝐴𝐷=√132．…（12分）法2：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC…（7分）=4+7−2×2×√7×√714=9，…（8分）∴BC＝3，∴𝐵𝐷=32⋯（9分）在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，…（10分）=4+94−2×2×32×12=134，…（11分）∴𝐴𝐷=√132，…（12分）法3：设E为AC的中点，连结DE，则𝐷𝐸=12𝐴𝐵=1，…（7分）𝐴𝐸=12𝐴𝐶=12√7⋯（8分）在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2+DE2﹣2AE•DE•cos∠AED，…（9分）=74+1+2×√72×1×√714=134，…（11分）∴𝐴𝐷=√132．…（12分）3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为158．【解答】解：∵AD是△ABC的内角A的平分线，且∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵S△ABD+S△CAD＝S△ABC，∴12AB•ADsin∠ABD+12AC•ADsin∠CAD=12AB•ACsin∠BAC，即12×3AD×√32