第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1.(2016·武汉调研)已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于()A.-1B.-2C.-3D.-4解析法一由题意可得a1+(a1+6d)=-8,a1+d=2,解得a1=5,d=-3.法二a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.答案C2.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40解析设项数为2n,则由S偶-S奇=nd得,25-15=2n,解得n=5,故这个数列的项数为10.答案A3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=51解析由题意,得a1+a2+a3+…+a101=a1+a1012×101=0.所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.答案C4.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于()A.0B.37C.100D.-37解析设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,∴{an+bn}为等差数列,又a1+b1=a2+b2=100,∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100.答案C5.(2017·泰安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n=()A.9B.8C.7D.6解析设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由a2=-11,a5+a9=-2,得a1+d=-11,2a1+12d=-2,解得a1=-13,d=2.∴an=-15+2n.由an=-15+2n≤0,解得n≤152.又n为正整数,∴当Sn取最小值时,n=7.故选C.答案C二、填空题6.(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是________.解析设数列{an}的公差为d,由题设得a1+(a1+d)2=-3,5a1+5×42d=10,解得a1=-4,d=3,因此a9=a1+8d=20.答案207.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2a2n=a2n+1+a2n-1(n∈N*,n≥2),则a7=________.解析由2a2n=a2n+1+a2n-1(n∈N*,n≥2),可得数列{a2n}是等差数列,公差d=a22-a21=3,首项a21=1,所以a2n=1+3(n-1)=3n-2,∴an=3n-2,∴a7=19.答案198.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________.解析法一由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因为数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为Sm=m(a1+am)2=0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.法二因为Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)2,得ma1+m(m-1)2=0,①(m-1)a1+(m-1)(m-2)2=-2.②由①得a1=1-m2,代入②可得m=5.法三因为数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,所以数列Snn也为等差数列.所以Sm-1m-1+Sm+1m+1=2Smm,即-2m-1+3m+1=0,解得m=5,经检验为原方程的解.答案5三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{an}首项为a1,公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,1≤2n+352,bn=1;当n=4,5时,2≤2n+353,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2n+354,bn=3;当n=9,10时,4≤2n+355,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.(1)证明由题设知,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)解由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.11.(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小的一份为()A.53B.103C.56D.116解析依题意,设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有5a=100,a+(a+m)+(a+2m)=7(a-2m+a-m),解得a=20,m=11a24,a-2m=a12=53,即其中最小一份为53,故选A.答案A12.(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=24,则a6·a7的最大值为()A.36B.6C.4D.2解析在等差数列{an}中,∵S12=6(a6+a7)=24,∴a6+a7=4,令x0,y0,由基本不等式可得x·y≤x+y22,当且仅当x=y时“=”成立.又a60,a70,∴a6·a7≤a6+a722=4,当且仅当a6=a7=2时,“=”成立.即a6·a7的最大值为4,故选C.答案C13.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有SnTn=2n-34n-3,则a9b5+b7+a3b8+b4的值为________.解析∵{an},{bn}为等差数列,∴a9b5+b7+a3b8+b4=a92b6+a32b6=a9+a32b6=a6b6.∵S11T11=a1+a11b1+b11=2a62b6=2×11-34×11-3=1941,∴a6b6=1941.答案194114.在数列{an}中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和.解(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列.∴A(n)+C(n)=2B(n),整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3,∴数列{an}是首项为-5,公差为3的等差数列,∴an=-5+3(n-1)=3n-8.(2)|an|=-3n+8,n≤2,3n-8,n≥3,记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n≤2时,Sn=n(5+8-3n)2=-3n22+132n;当n≥3时,Sn=7+(n-2)(1+3n-8)2=3n22-132n+14,综上,Sn=-32n2+132n,n≤2,32n2-132n+14,n≥3.