专题7.3 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

7.3二次函数与一元二次方程、不等式思维导图知识点总结一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}x|x≠－b2aR一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔a＞0，b2－4ac＜0.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔a＜0，b2－4ac＜0.典型例题分析考向一一元二次不等式的解法【例】已知不等式ax2＋bx＋c0的解集是{x|αxβ}(α0)，则不等式cx2＋bx＋a0的解集是()A.1β，1αB.－∞，1β∪1α，＋∞C．(α，β)D．(－∞，α)∪(β，＋∞)【答案】B【解析】不等式ax2＋bx＋c0的解集是{x|αxβ}(α0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a0，∴α＋β＝－ba，α·β＝ca.不等式cx2＋bx＋a0可化为cax2＋bax＋10，∴αβx2－(α＋β)x＋10，化为(αx－1)(βx－1)0，又0αβ，∴1α1β0，∴不等式cx2＋bx＋a0的解集是xx1β或x1α，故选B.【变式】(2019·江苏卷)函数y＝7＋6x－x2的定义域是________．【答案】[－1,7]【解析】要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1,7]．【方法技巧】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【变式】(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－20成立的x的取值范围为________．【答案】－1，23【解析】3x2＋x－20变形为(x＋1)·(3x－2)0，解得－1x23，故使不等式成立的x的取值范围为－1，23.已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－axa2.【解析】∵12x2－axa2，∴12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为{x|x－a4或xa3}；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为x|xa3或x－a4.综上所述：当a0时，不等式的解集为{x|x－a4或xa3}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a0时，不等式的解集为x|xa3或x－a4.考向二一元二次不等式的恒成立问题（在实数R上恒成立）【例】若不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．【解析】当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解得－3k0.综上，满足不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．【答案】(－3,0]【方法技巧】在R上的恒成立问题解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，不要忽略a＝0时的情况．【变式】若不等式x2－kx＋10对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___________．【解析】依题意，设y＝x2－kx＋1，因为不等式x2－kx＋10对任意实数x都成立，所以Δ＝k2－40，解得k∈(－2,2)．【答案】(－2,2)考向三一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）【例】若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]【答案】A【解析】(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a.则由题意，得f－1＝－12－2×－1＋a≤0，f2＝22－2×2＋a≤0，解得a≤－3.故选A．(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x(x∈[－1,2])．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A．【方法技巧】在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.考向四一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立问题）【例】(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－20成立的x的取值范围为________．【解析】3x2＋x－20变形为(x＋1)(3x－2)0，解得－1x23，故使不等式成立的x的取值范围为－1，23.【答案】－1，23【变式】设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈1，m2＋1，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则m的取值范围为()A．[4,6]B．(4,6)C．(4,6]D．[4,6)【答案】A【解析】函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝m2，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，∴m≥4.∴m2∈1，m2＋1且m2＋1－m2≤m2－1，∴当x1，x2∈1，m2＋1时，f(x)max＝f(1)＝3－m，f(x)min＝fm2＝－m24＋2.由∀x1，x2∈1，m2＋1，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴||fx1－fx2max≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，∴(3－m)－－m24＋2≤4，即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.综上，4≤m≤6，故选A.【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.基础题型训练一、单选题1．一元二次不等式2210xx的解集是（）A．1(,)(1,)2B．1(1,)2C．1(,1)(,)2D．1(,1)2【答案】D【解析】根据公式直接求解一元二次不等式.【详解】22101210xxxx，解得：112x，所以不等式的解集是112xx.故选：D2．不等式20yaxxc的解集为|21xx，则函数y的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据不等式20yaxxc的解集为|21xx，可得a0，且2和1是一元二次方程20axxc的两个实根，结合图象可知答案.【详解】因为不等式20yaxxc的解集为|21xx，所以a0，且2和1是一元二次方程20axxc的两个实根，所以函数y的图象开后向下，函数y的两个零点为2和1，结合图象可知，选项B正确.故选：B【点睛】关键点点睛：根据不等式的解集得到a0，且2和1是一元二次方程20axxc的两个实根是解题关键.3．若不等式23208kxkx对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（）A．[0,3)B．(0,3)C．[0,3]D．{0}(3,)【答案】A【分析】对k分0k或0k两种情况讨论，当0k时200k，解得即可；【详解】解：因为不等式23208kxkx对任意实数x都成立，当0k时308满足条件，当0k时，则22034208kkk，解得03k；综上可得0k，即0,3k故选：A4．已知,,abcR，若2()fxaxbxc，满足(4)2(0)fff，则（）A．0,0aabB．0,0aabC．0,20aabD．0,20aab【答案】C【分析】由(4)2(0)fff，得到函数2()fxaxbxc图象开口向下，且以1x为对称轴，即可求解.【详解】由(4)2(0)fff，根据二次函数的性质，可得函数2()fxaxbxc图象开口向下，且以1x为对称轴，即0,12baa，解得0,20aab.故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.5．不等式 20xx的解集A． 0xxB． {|2}xxC． {20}xxx或D．{|02}xx【答案】D【分析】因为方程(2)0xx两根分别为10x，22x，且不等式二次项系数为负，根据大于零的解集为“两根之间”，可得答案．【详解】20xx，如果展开，其二次项系数为负，对应抛物线开口向下，大于0解集为“两根之间”，故解集为{|02}xx，所以正确选项为D．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，较简单．6．若关于x的方程2210axax有两个不同的正根，则实数a的取值范围是（）A．0,1B．0,C．1,D．,0【答案】C【分析】由0a，判别式0及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.【详解】因为关于x的方程2210axax有两个不同的正根，所以2044010aaaa，解得1a，故实数a的取值范围是1,.故选：C二、多选题7．下列四个不等式中解集为R的是（）A．－x2＋x＋1≥0B．x2－25x＋5＞0C．－2x2＋3x－4＜0D．x2＋6x＋10＞0【答案】CD【解析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】对于C项，不等式可化为x2－32x＋2＞0，所以2323()416x，所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，所以x2＋6x＋10＞0的解集为R，对于A，B均不可得解集为R，故选：CD.8．若方程220xx在区间1,0上有实数根，则实数的取值可以是（）A．3B．18C．14D．1【答案】BC【解析】分离参数得22xx，求出22xx在(1,0)内的值域即可判断．【详解】由题意22xx在(1,0)上有解．∵(1,0)x，∴222(1)1(0,1)xxx，故选：BC．三、填空题9．若方程200axbxca有唯一的实数根3，则不等式20axbxc的解集为______．【答案】3xx【分析】由