素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（原卷版）

学科网（北京）股份有限公司1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展17解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）一、三角形中线问题如图在ABC中，D为CB的中点，2ADACAB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）二、角平分线问题如图，在ABC中，AD平分BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c①等面积法ABCABDADCSSS111sinsinsin22222AAABACAABADACAD（常用）②内角平分线定理：ABACBDDC或ABBDACDC③边与面积的比值：ABDADCSABACS【典例1】在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，2,2sin3sin2cbAC.(1)求sinC；(2)若ABC的面积为372，求AB边上的中线CD的长.【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；二、题型精讲精练一、知识点梳理学科网（北京）股份有限公司2（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD，最后利用求模公式即可求AB边上的中线CD的长.【详解】（1）因为2sin3sin2AC，所以2sin6sincosACC，所以26cosacC，即3cosacC，所以cos3aCc，由余弦定理及2cb得：2222222243cos222abcabbabCababab，又cos36aaCcb，所以222232926abaababb，即322ab，所以3222cos664baCbb，所以22214sin1cos144CC.（2）由214374211sin2ABCSabCab===创，所以62ab，由（1）322ab，所以2,32ba，因为CD为AB边上的中线，所以12CDCACB，所以222124CDCACBCACB（通过平方，将向量转化为数量）2212cos4baabC124182232447，所以7CD，所以AB边上的中线CD的长为：7.【典例2】在ABC中.AB＝2，AC＝27，BC＝4，D为AC上一点.(1)若BD为AC边上的中线，求BD；(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.【分析】（1）利用余弦定理，先求得cosA，然后求得BD.（2）利用余弦定理，先求得ABC，即可求得ABD、CBD，利用等面积法求得BD.【详解】（1）在ABC中，22227cos27ABACBCAABAC，因为BD为AC边上的中线，所以7AD，在ABD△中，222272cos4722737BDABADABADA，所以3BD（活用两次余弦定理）学科网（北京）股份有限公司3（2）在ABC中，222416281cos22242ABBCACABCABBC，由于0πABC，所以2π3ABC.因为BD为ABC的角平分线，所以π3ABDCBD.由ABCABDCBDSSS，得111sinsinsin222ABBCABCABBDABDBCBDCBD（等面积法）即131324(24)2222BD，解得43BD.【题型训练-刷模拟】1.中线问题一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知23sinsinsinsin3aAcCaCbB．（1）求B；（2）若AC边上的中线BD的长为2，求ABC面积的最大值．2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且11tantan2coscosBCBC．(1)求角A的值；(2)若2a，求BC边上的中线AD的最大值．3．（2023·全国·高三专题练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22cbBa．(1)求A；(2)若3bc，求BC边中线AM的取值范围．4．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且23coscos3bcCAa．（1）求角A的值；学科网（北京）股份有限公司4（2）若,6BBC边上的中线7AM，求ABC的面积．5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知,,abc为ABC的内角,,ABC所对的边，向量(sinsin,sinsin)mCBBA,(,)ncba，且mn．(1)求C；(2)若2a，ABC的面积为23，且2ADDB，求线段CD的长．6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cossinaCbcA.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，129,52ADAB，求△ABC的面积.7．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，3cossin0acBbC．（1）求角C的大小；（2）若2c，AB边上的中线CD长为3，求ABC的周长．8．（2023·全国·高三专题练习）ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos(2)cosaCbcA.(1)求角A的大小；(2)若2,bBC边上的中线3AD，求ABC的面积.9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知ABC中，3sin2C，2tantan33AB，(1)求tanA；(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求ADC的余弦值．10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知cos2cos0cAabC.(1)求C的大小；(2)ABC的面积等于43，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.学科网（北京）股份有限公司511．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22coscbaB.(1)求角A；(2)若22230bacc，ABC的面积为1534，求边BC的中线AD的长.12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3tantancosaBCcB．(1)求角C的值；(2)若23c，D为AB的中点，求中线CD的范围．13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc且2cossin,62sin2sinabbCcBaAB，(1)求b；(2)求AC边上中线长的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2coscos,3acBbCABBC.（I）求△ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长．15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinsinsin2sinaAbBcCbA．(1)求角C的大小；(2)若2c，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且3a，3sin(1cos)BbA.学科网（北京）股份有限公司6(1)求角A的大小；(2)若3AC，点D满足3CBCD，点E满足DEAD，求sinBEC.17．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，sinsinsinbBaAbcC(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线23AD，且23ABCS，求ABC的周长18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且22222tantancacbAB.(1)求角A的大小；(2)若边2a，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.2.角平分线问题一、解答题1．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．sinsinsinABABAC，角A的角平分线交BC于点D，且3b，6c．(1)求角A的大小；(2)求线段AD的长．2．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知60A，1cb，AC边上的高为332，(1)求c的值；(2)设AD是ABC的角平分线，求AD的长.3．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且学科网（北京）股份有限公司7sinsin()sin0bBaAbcC．(1)求角A的大小；(2)若角A的角平分线AD与BC交于点D，4AD，6AC，求ABC的面积．4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，bc且满足222sin2sin2sinsin1cos2ABBCC.(1)求角A；(2)若ABC的面积为63，点D在边BC上，AD是ABC的角平分线，且4AD，求ABC的周长.5．（2023·全国·高三专题练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2cosbCcBaA.(1)求A的大小；(2)若BC边上的高为32，且A的角平分线交BC于点D，求AD的最小值.6．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且222cossincossinsinCABAC．(1)求角B的大小，(2)若23b，角B的角平分线交AC于D，且1BD，求ABC的面积．7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sinsinsin2sinABAB，3c，ca，ABC外接圆面积为3π.(1)求b；(2)若CD为角C的角平分线，交AB于D点，求CD的长.8．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，已知545cos7ABACB===，，.(1)求sinA的值；(2)若AD是BAC的角平分线，求AD的长．9．（2023·全国·高三专题练习）ABC中，2AB，1AC，BDBC，0,1.学科网（北京）股份有限公司8(1)若120BAC，12，求AD的长度；(2)若AD为角平分线，且1AD，求ABC的面积.10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanBsin2cosAA(1)若1tan2B，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且31AMMN，，求△ABC的面积．11．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且210sin7cos22BCA．(1)求角A的大小；(2)若2,1bc，①BAC的角平分线交BC于M，求线段AM的长；②若D是线段BC上的点，E是线段BA上的点，满足,CDCBBEBA，求ADCE的取值范围．12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2bAac.(1)求角B；(2)设ABC的角平分线BD交AC于点D，若2BD，求ABC的面积的最小值.13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知3sinsincossinsin3ACBBC，(1)