高中数学必修二直线与方程经典

高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即0tan(90)k。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30°=33∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—3例：直线053yx的倾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）即不包含于平行于x轴或y直线两点轴的直线，直线两点11,yx，22,yx，当写成211211()()()()xxyyyyxx的形式时，方程可以表示任何一条直线。④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点A(8，—2)；.(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；.xyo12l1l2(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；.4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A．C=0，B0B．C=0，B0，A0C．C=0，AB0D．C=0，AB0例2：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.0且BC0，则l直线不经的象限是（）A．第一B．第二C．第三D．第四（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00yykxx，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（三）垂直直线系垂直于已知直线0AxByC（,AB是不全为0的常数）的直线系：0BxAyC例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为。(m∈R)（5）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，（1）212121,//bbkkll；（2）12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（3）1212,kkbb1l与2l重合；（4）12kk1l与2l相交。另外一种形式：一般的，当1111110:0(,)lAxByCAB不全为，与2222220:0(,)lAxByCAB不全为时，（1）122112210//120ABABllBCBC，或者1221122100ABABACAC。（2）1212120llAABB。（3）1l与2l重合1221ABAB=1221BCBC=1221ACAC=0。（4）1l与2l相交12210ABAB。例.设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l1时分别求出m的值例1.已知两直线l1：x+(1+m)y=2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行例2.已知两直线l1：(3a+2)x+(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值（6）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合例3.求两条垂直直线l1：2x+y+2=0和l2：mx+4y—2=0的交点坐标例4.已知直线l的方程为121xy，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。例2：求满足下列条件的直线方程(1)经过点P(2，3)及两条直线l1：x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2)经过两条直线l1：2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；(3)经过两条直线l1：2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；（7）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（8）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线1:0lAxByC的距离2200BACByAxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。对于0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl来说：1222CCdAB。例1：求平行线l1：3x+4y—12=0与l2：ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y—6=0与l2：6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。(10)对称问题1)中心对称A、若点11(,)Mxy及(,)Nxy关于(,)Pab对称，则由中点坐标公式得112,2.xaxybyB、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用12//ll，由点斜式得出所求直线的方程。2)轴对称A、点关于直线的对称：若111(,)Pxy与222(,)Pxy关于直线:0lAxByC对称，则线段12PP的中点在对称轴l上，而且连结12PP的直线垂直于对称轴l，由方程组121212120,22,xxyyABCyyBxxA可得到点1P关于l对称的点2P的坐标22(,)xy（其中120,)Axx。B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线1l与对称轴l相交，则交点必在与1l对称的直线2l上，然后再求出1l上任一个已知点1P关于对称轴l对称的点2P，那么经过交点及点2P的直线就是2l；若已知直线1l与对称轴l平行，则与1l对称的直线和1l到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l的对称直线。例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).(1)分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2)分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。(4)求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。11.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx，221yy)例.已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程