清华版矩阵位移法.

淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学第九章矩阵位移法淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学§9-1概述矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机矩阵位移法的基本步骤是：（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析。基本思想:•化整为零------结构离散化将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.•单元分析对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力•集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）E,A,I12lxye1.一般单元12121u1v2v2u121M2M1xF1yF2yF2xFeT222111eT(6)(5)(4)(3)(2)(1)e)θvuθvu()ΔΔΔΔΔΔ(ΔeT22y2x11y1xeT(6)(5)(4)(3)(2)(1)e)MFFMFF()FFFFFF(F淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学单元刚度方程：即由方程。F加约束：发生位移：e1u2u12exF1eyF1exF2eyF2eM1eM212e1v2vx淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFFyxyxeee单元刚度方程的矩阵表示形式：可记为：kFeee局部座标系的单元刚度矩阵淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学2.单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义ijke—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。（2）单元刚度矩阵是对称矩阵，即jiijkk。（3）一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵。ijkeijke淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学3.特殊单元e例：1201u01v1202u02ve某一个或几个位移已知为零，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee21214224lEIlEIlEIlEIMMeeelEIlEIlEIlEIk4224ee淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学xye1X1Y1M2X2YxyX1Y11MX2Y22M2M§9-3单元刚度矩阵（整体坐标系）1.单元座标转换矩阵esincos111yxxFFFeeecossin111yxyFFFeee11MMeesincos222yxxFFFeecossin222yxyFFFeee22MMee淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学eeeFTFee单元坐标转换矩阵2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYX[T]-1=[T]TTeeFTFTeeTTⓔⓔ淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学kFeee整体座标系中(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]Tke[T]e(e)[k]e的性质与ek一样。2.整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式两边前乘[T]T比较式(b)和(d)：局部座标系中淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k]。设和杆的杆长和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124441025,10300lEIlEA解:(1)局部座标系中的单元刚度矩阵10030050300301203012000300003005030010030030120301200030000300104ke12k=k淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学单元2：=90，单元座标转换矩阵为100000001000010000000100000001000010T[k]=[T]Tk[T]10003050030030000300030012300125003010003003000030003001230012104(2)整体座标系中的单元刚度矩阵e[k]单元1：=0，[T]=[I]k1=1[k]淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学§9-4连续梁的整体刚度矩阵按传统位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位移对{F}的单独贡献淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学1.单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元的贡献，整刚由单元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，则F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000单元1的贡献矩阵记为：称为：[K]=24i12i14i12i100000同理得到单元2的贡献矩阵淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学1[K]{}{F}=12[K]{}{F}=2i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12][Kee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整体刚度矩阵为：求整刚矩阵步骤：得整体刚度方程：淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学2.按照单元定位向量由[k]求e[K]e(1)整体分析总码。(2)单元分析局部码。连续梁121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码确定中的元素在中的位置。[k]e[K]e位移单独编码局部码淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=21(1)2(2)32=32由单元的结点位移总码组成的向量单元定位向量:总码、局部码之间的对应关系。也称为“单元换码向量”。淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学（3）单刚[k]e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元单元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=21[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=32[K]=20000000004i22i24i22i2123123淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学3.单元集成法的实施（定位累加）（1）将[K]置零，得[K]=[0]；（2）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]；（3）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵[K]。淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学12i1i2i3312301230=0（1）结点位移分量总码1=212=323=03例.求连续梁的整体刚度矩阵。（2）单元定位向量淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学（3）单元集成过程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学4.整体刚度矩阵[K]的性质（1）整体刚度系数的意义:Kij表示j=1(其余=0)时产生的结点力Fi（2）[K]是对称矩阵（3）对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000001321nFFFF1321n4i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学1、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。（）2、组装结构整体刚度矩阵之前，必须对单元刚度矩阵进行坐标转换。（）3、结构整体刚度矩阵与结点位移编号方式无关。（）4、如单元定位向量中的第i个元素为0，说明单元第i个杆端位移分量对应刚性支座。（）淮海工学院土木工程系第九章矩阵位移法结构力学5、单元