均匀化理论和多尺度方法

第六章均匀化理论和多尺度方法高等复合材料力学AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陈玉丽航空科学与工程学院6.1引言在考察实际复合材料微结构状态变量和材料系数的演化时，由于热载荷和机械载荷都是施加在宏观结构层面，所以研究采用的细观力学模型必须能够把细观响应和宏观行为联系起来。单胞模型通过在非均匀结构中提取出一个代表性体积单元(RVE)从而可以求得有效的材料响应和演化过程。这里假设微结构是周期性重复排列的单胞，与复合材料的宏观尺寸相比，它的不均匀性是很小的，此种类型的材料被称作具有周期性微观结构的复合材料（第三章）。但是，单胞法还是存在许多不足。周期性假设用于预测最优材料性能非常有效，然而实际的非均匀材料很少具有完全的周期性微结构，宏观结构上不同的点可能具有不同的微结构形态。这种假设在处理复杂载荷条件下非线性非均匀结构变形问题时也存在不足。为了解决上述问题，单胞模型应该包含大的区域，采用大的模型。26.1引言20世纪70年代，学者们在研究非均匀材料时引入了一种替代的数学方法，Benssousan和Sanchez-Palencia等称之为均匀化理论。这种方法用于分析具有两个或者多个尺度的物质系统，它可以把含有第二相空间的细观尺度和整体结构上的宏观尺度联系起来。通过对位移和应力场进行渐进展开以及适当的变分原理，均匀化方法不仅可以求出等效的（均匀化）材料常数，而且可以得到两个尺度上的应力和应变分布。相对于单胞法，这种方法的优点在于不必作全局的周期性假设，在宏观结构的不同点可以有不同的微结构。然而，这种分析通过引入空间重复排列单胞作了局部周期性假设。Toledano和Murakami，Guedes和Kikuchi以及Devries等成功地把有限元方法和均匀化方法结合起来用于分析复合材料的线弹性问题。在这些研究当中，通过计算机模拟宏观结构的平均应力和应变场得到了全局的响应，同时借助局部应力和应变场的描述得到了微结构的行为。36.2多尺度模型4一具有周期性结构的复合材料弹性体Ω，受体力f，边界Γt上受表面力t，边界Γu上给定位移边界条件。宏观某点x处的细观结构可以看成是非均匀单胞在空间中周期性重复堆积而成。单胞的尺度y相对于宏观几何尺度为小量。xftuy6.2多尺度模型50432104321xy=x/ε01宏观尺度：微观尺度：例如：宏观尺度为m，微观尺度为nm，ε=10-9实际为1m的尺寸，即x=1(m)，在微观尺度下y=x/ε=109(nm)实际为1nm的尺寸，即y=1(nm)，在宏观尺度下x=yε=10-9(m)y6.2多尺度模型6对于非均匀的复合材料，当宏观结构受外部作用时，位移和应力等结构场变量将随宏观位置的改变而不同。同时由于细观结构的高度非均匀性，使得这些结构场变量在宏观位置x非常小的邻域ε内也会有很大变化。因此所有变量都假设依赖于宏观与细观两种尺度，即：,,xxyy=x上标ε表示该函数具有两尺度的特征。,,xyxy+YY-周期性：微观单胞的周期为Y6.2多尺度模型7在中，弹性张量和柔度张量分别为假设应力场和位移场都满足平衡方程、几何方程和本构方程，有其中是细观坐标系y中的具有Y-周期的位移场。同时，在给定力边界和给定位移边界分别满足ijklEijklS()(,)inijklijklEExxy()(,)inijklijklSSxxy,inijjif1in2klkllkuuexxinijijklklEe(,)uuxyonijjitntoniiuuu均匀化方法83）以傅里叶变换为基础的多尺度方法2）泰勒级数近似法（TaylorSeriesApproximation）1）渐进展开法（Asymptoticexpansion）6.3渐进展开法9在均匀化理论中，Y-周期位移场可以近似为宏观坐标x的展开式，渐进展开是其中比较常用的一种展开方法中，其展开形式为：0122(,)(,)(,),xuxuxyuxyuxyy1,iiixxyxxy注意到任意一个依赖于两个尺度的函数Φ对宏观坐标x的偏微分为00001111222233210111221,klklklklkllklklklkklklklkllklklklkklkluuuuuuuuexxyyxxyyuuuuuuuuxxyyxxyyeexyx122,,,klkleeyxyxy应变张量Asymptoticexpansion6.3渐进展开法10代入本构方程，可得应力场的渐进展开式：其中101221,,,,klklklklkleeeeexyxyxyxy将应力的渐进展开式代入平衡方程，有101221,,,,klklklklklxyxyxyxy,,1,0,1,2nnijijklklEenxy110011222,,,,111,,,,110jjjjjjjjijijijijijijijijixyxyfxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy6.3渐进展开法11令εi(i=-2,-1,0,1…)的系数为零，得到一系列控制方程：121010101211,:0,,:0,,:0,,:0,,:0,1,2,3jjjjjjjjjijijijijijiijijnnijijnOyOxyOfxyOxyOnxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy（1）（2）（3）6.3渐进展开法12根据Y-周期性，可以证明（Devriesetal.1989）00kijkljluEyy可以得到00()uux10ij（2）式00ijjy010kkijkljlluuEyxy（1）式00ˆklkijijluxyˆ()0klijjyyˆ()klpklklijijpmpmmETyy其中01()klkiiluuxy1()2klijikjliljkT细观平衡方程细观本构方程110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy6.3渐进展开法13在Y内积分，有00ˆklkijijluxy00kijijklluExH1ˆˆklklijklijijYEdYYHy均匀化弹性常数（3）式00inijijfx110010(1)0(2)0(3)jjjjjijijijijijiyxyfxy均匀化的宏观平衡方程00in,on,onijkiijijkljlijjitiiuufExxntuuH0Σσ令宏观弹性问题的解6.3渐进展开法14xy=x/ε宏观微观尺度z=x/ε2对位移渐进展开0122uuuu代入平衡方程,0ijjif得到控制方程不同阶系数为零得到均匀化方程利用周期边条化简控制方程动态问题怎么办？……6.4含时间的渐进展开（1）15弹性动力学问题:,0iijju0122,,,,,,,,iiiituuuttutxyxyxyxy1(,,)(,,)niiixytxyt0(,,)(,,)niiiuxytuxyt参考文献：Fish,J.andChen,W.(2001).Higher-OrderHomogenizationofInitial/Boundary-ValueProblem.J.Eng.Mech.,127(12),1223–1230.1;,,xxyuuu;xeuEexy=x/ε6.4含时间的渐进展开（1）16令εi(i=-2,-1,0,1…)的系数为零，得到一系列控制方程：20,,10,0,1,,,,,1,1,2,,,:0:0:00,1,2,3,,yyyxyyxyiiixiyixiyxyOEuOEuEuEuOuEuuEuuin10,,1,0,1,2,3,,yiixiyEuEuuin不同阶的应力为：6.4含时间的渐进展开（1）1720,,:0yyOEu00,uUxtdy0,,0yyEu0u200,0,0d0yyuEuEuy00,0,0,,dd0yyyyuEuyuEuy00,0yu6.4含时间的渐进展开（1）1820,,:0yyOEu00,uUxt10,0,1,,,,:0yxyyxyOEuEuEu110,,xuUxtLyU00,,1xyUEL0,1,,0xyyEUu110,,,,xuxytUxtLyU线性问题通解：代入原式得：,,10yyEL00,,1xyUEL110000yyyyuu110000yyyyuu11(,,)(,)()0uxytUxtLy如何求解L(y)？提示：1.周期性（Periodicity）：2.连续性（Continuity）：3.正交性（Normalization）：请求出L(y)（分段表达），进而求出,1yEL6.4含时间的渐进展开（1）1920,,:0yyOEu00,uUxt10,0,1,,,,:0yxyyxyOEuEuEu110,,xuUxtLyU00,,1xyUEL12,1211HyEEEELEE00,1,1,2,,,:0ixyxyxyOuEuuEuu121H00,0HHxxUEU均匀化后的材料性质与静态问题是一致的。因此，0阶问题是无色散的。为了反映波的色散效应（dispersioneffect），必须考虑更高阶的项。请证明6.4含时间的渐进展开（1）20:O2:O222112222121121HdHEEEEEE11,0HHxxUEU其中，Ed表征了非均匀对宏观行为的影响。Ed具有如下特性：1）正比于单元尺寸的平方；2）均匀材料（α=0或α=1）Ed=0。右端力项正比于宏观应变梯度，梯度越小，右端项越小。22,0,HHxxdxxxxUEUEU6.4含时间的渐进展开（1）213:O4:O2241122121244121,,,,3601HgHEEEEfEEEE其中，Eg表征了微观结构对宏观行为的影响。Eg具有如下特性：1）强依赖于单元尺寸；2）均匀材料（α=0或α=1）Eg=0。