第三章功能原理和机械能守恒定律

第三章功能原理和机械能守恒定律安徽大学出版社ANHUIUNIVERSITY大学物理学安徽大学出版社大学物理学August8,2019Page2ANHUIUNIVERSITY3－1变力的功功能定理3－2保守力与非保守力势能3－3功能原理及机械能守恒定律第三章功能原理和机械能守恒定律大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›3－1变力的功功能定理一、变力的功abOFrdsdrr功(work)度量能量转换的基本物理量，描写力对空间积累作用.定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。sFrFrFAdcosddcosd元功(elementarywork)*功的计算与具体过程相联系,功是一个过程量.变力的总功：bababasFrFAAdcosdd大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›*合力的功等于各分力的功的代数和niiniiArFA11ddd合力的元功从a到b合力之功niinibaibaniibaArFrFAA111ddd单位(SI):焦耳(J)说明(1)功的计算与具体过程相联系,功是过程量,不是状态量,表征力对空间的累积效应.大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›(2)前式中涉及的位移是受力物体的位移,只有按此定义,才能得到后面的动能定理.(3)变力做功在直角坐标系中的数学表达式.bazyxbazFyFxFrFAdddd功率(power)定义单位时间内力所作的功称为功率.(1)平均功率tAP(2)瞬时功率vFtrFtAtAPtddddlim0大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›功率的单位(SI)：111W1WsJ秒焦耳瓦特瓦特例1在一个深h=18m的坑里,垂直悬挂着一根长绳,从地面垂至坑底.已知绳的质量线密度λ=0.88kg/m,试问:若将此绳提到地面,至少要做多少功?yyh解:取如图坐标系,绳运动到图示任意位置y时,所受重力λ(h-y)g.要使做功最少,作用于绳子的力刚好等于重力,通过dy距离时,元功为:ygyhAd)(d大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›全部拉上绳子拉力所做的功至少为)(1040.121d)(d320JghygyhAAh例2质量为2t的卡车,启动时在牵引力的作用下,自原点从静止开始沿x轴做直线运动,求在前10s内牵引力所做的功.N1063tFx解:由ttmFtx3102106dd33v得ttd3dv积分ttt0v0vd3d得25.1ddttxv所以牵引力前10s做功为:tttd5.1dd2vx大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›)(1025.2d5.1106d710023JtttxFAx大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›二、动能定理(theoremofkineticenergy)stmsFeseFeFAttnnttddddd)(dv在自然坐标系中,F是作用在物体上的合力,则)21(ddddd2mvvvmvtsm从a到b积分,有222121)21(ddabbammAAbavvmvvv2动能(kineticenergy)单位：焦耳(J)2k21vmE大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›动能定理合力对质点所作的功等于质点动能的增量.kkakbEEEA221m2mimexiFiniF研究质点系,对第i个质点运用动能定理,iaibiiiEEAAA(i)(e)内力功外力功求和,有kkakbiiiEEEAAA(i)(e)niniiaiibikakbkmmEEE11222121vv动能增量大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›质点系的动能定理作用于质点系中各个质点上的外力和内力所做的功的代数和,等于质点系动能的增量.注意1.功是过程量,是能量变化的量度;动能是状态量,是运动状态的单值函数.它们的单位和量纲相同.2.动能定理由牛顿第二定律导出,只适用于惯性参考系,动能也与参考系有关.大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›例1一质量为1.0kg的小球系在长为1.0m细绳下端,绳的上端固定在天花板上.起初把绳子放在与竖直线成60度角处,然后放手使小球沿圆弧下落.试求绳与竖直线成10度角时小球的速率.PTsddl0v解:取如图所示中间时刻,小球受拉力和重力作用,则:sPsTsFAddddspsPdcosddsinmgl大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›)cos(cosdsin00mglmglA由动能定理2022121vvmmA得)cos(cos20glv30,60m,0.10l代入得1sm)60cos30(cos0.18.92v1sm68.2大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›三、“一对力”的功把作用力与反作用力,更一般地,把两个大小相等,方向相反,在一条直线上的力称为“一对力”.oijirdjrdijrdijfjifirjr研究如图的两质点系统,相互作用力的元功为:jjijiijirfArfAdd;dd其代数和jiAAAdddjjiiijrfrfddjiijff)(d)dd(djiijjiijrrfrrfAijijrfd大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›对于整个过程ijijrfAd物理意义一对力的功等于以其中任一质点为参考系,计算它对另一个质点的作用力所做的功.这说明一对力做功与参考系无关,因此可选取最方便的参考系来计算一对力的功.常见的“一对力”的功①一对正压力的功恒为零.(更普遍的,无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况)②一对静摩擦力的功恒为零.③一对滑动摩擦力的功恒为负.大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›3－2保守力与非保守力势能一、重力(gravity)所做的功baayPoxyzbyrd以地球为参考系jmgPkzjyixrddddymgrPAbayybadd)(abyymg二、万有引力(gravitation)所做的功以质点M为参考系,如图万有引力的元功可写为:OMmFrarbrabrd大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›rFrFrFrFAdcosdcosdddrrMmGF3rrMmGAdd2abrrrMmGrMmGrrGMmAba2d三、弹性力(elasticwork)所做的功XOabxcaxbxd建立如图所示坐标系,弹性力的元功可写为:大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›xkxixikxixFAd)d()()d(d222221212121ddabbaxxbakxkxkxkxxkxAAba四、摩擦力所做的功以地面为参考系,元功:sfrfrfAdcosdddabbafssfAdabs是曲线路径的长度显然,从a到b,沿不同的路径,摩擦力做功不同.大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›五、保守力与非保守力做功的多少仅由始末两点的位置决定,而与中间所经过的路径无关,这样的力称为保守力(conservativeforce).而做功多少和物体的运动路径有关的力称为非保守力(nonconservativeforce).对于任意闭合路径:0dLrF即做功为零,为保守力,如:重力,弹性力.0dLrF为非保守力(耗散力).如:摩擦力0dLrF为非保守力(非耗散力).如:爆炸力大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›六、势能(potentialenergy)可以将保守力的功表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在起点和终点的取值之差.将该函数定义为此物体系的势能,势能只与质点位置有关,是状态函数.P)(dEEErFApapbba势能定理势能增量的负值等于保守力所做的功.保守力和势能的微分关系:PddErF大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›2)势能是相对的.零势能位置的选取不同,势能也不同,故势能是质点间相对位置的单值函数.注意1)势能是属于系统的,保守力做功应理解为一对力做功.3)势能计算.令即得任一点的势能为:0paEbapbrFEd4)常见势能.弹性势能引力势能重力势能势能表达式零势能位置mghEP2p21kxErMmGEp地面附近弹簧自由状态时自由端位置两物体相距无限远大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›3－3功能原理及机械能守恒定律一、系统的功能原理knccciEAAAAAA(i)(i)(e)(i)(e)对于质点系的动能定理非保守内力做功保守内力做功由前述势能定理PcEA(i)定义系统的机械能,则PkEEEEEEAApknc(i)(e)系统的功能原理外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的增量.大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›二、机械能守恒定律由功能原理,当时,0(i)(e)ncAA机械能守恒定律外力和非保守内力做功的总和为零,或者说只有保守内力作功的情况下，系统的机械能保持不变.注意1),并不要求和为零.0(i)(e)ncAA(e)F(i)ncF2)要求在任意一微小路程上都是成立的,因此常用功率来描述机械能守恒的条件.0(i)(e)ncAAPkEEE恒量,或PkEE0(i)(e)ncPPPkEEE恒量大学物理学Page第三章·功能原理和机械能守恒定律ANHUIUNIVERSITYAugust8,2019‹#›例：一粗细均匀的柔软绳子,一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌边下垂,绳全长为.开始时,下垂