1第四篇三角函数与解三角形专题4.05函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响;2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.【知识梳理】1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.x-φω-φω+π2ωπ-φω3π2ω-φω2π-φωωx+φ0π2π3π22πy=Asin(ωx+φ)0A0-A02.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT=2πωf=1T=ω2πωx+φφ3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象:简谐振动(单摆、弹簧等),声波(音叉发出的纯音),交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k2中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质,得出函数性质后,再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω0,φ0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)确定;对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asinωx,其中x表示时间,y表示纯音振动时音叉的位移,|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高),A表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中x表示时间,y表示电流,A表示最大电流,|ω|2π表示频率,φ表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y=3sin2x的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin2x+π4.()(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y=2sin12x-π3的振幅、频率和初相分别为()A.2,4π,π3B.2,14π,π3C.2,14π,-π3D.2,4π,-π333.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y=2cos2x+π6的部分图象是()5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2x+π4B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4D.y=2sin2x-π346.(2018·济南模拟改编)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.【考点聚焦】考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω0,|φ|π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.5【规律方法】作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,32π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;(2)图象的变换法,由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2(2)(2018·青岛调研)若把函数y=sinωx-π6的图象向左平移π3个单位长度,所得到的图象与函数y=cosωx的图象重合,则ω的一个可能取值是()A.2B.32C.23D.126考点二求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式【例2】(1)(一题多解)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.(2)(2019·长郡中衡阳八中联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|π2的部分图象如图所示,已知A5π12,1,B11π12,-1,则f(x)图象的对称中心为()A.kπ2+5π6,0(k∈Z)B.kπ+5π6,0(k∈Z)C.kπ2+π6,0(k∈Z)D.kπ+π6,0(k∈Z)【规律方法】1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“φ”的确定.2.y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】(1)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)=-2cosωx(ω0)的图象向左平移φ0φπ2个单位,所得7的部分函数图象如图所示,则φ的值为()A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A0,|φ|π2,ω0的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.考点三y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用角度1三角函数模型的应用【例3-1】如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.8角度2三角函数性质与图象的综合应用【例3-2】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+23sin2ωx-3(ω0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.9【训练3】(1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f(x)=5sinxcosx-53cos2x+523(其中x∈R),求:①函数f(x)的最小正周期;②函数f(x)的单调区间;③函数f(x)图象的对称轴和对称中心.【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向;(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化.102.由图象确定函数解析式解决由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的问题时,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【易错防范】1.由函数y=sinx的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩再平移时,要把x前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω0,要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值,可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asint的值域.【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成.类型1三角函数的周期T与ω的关系【例1】为了使函数y=sinωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为()A.98πB.1972πC.1992πD.100π【评析】解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=2πω与所给区间的关系,从而建立不等关系.类型2三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f(x)=sinωx(ω0)在区间π3,π2上单调递减,则ω的取值范围是()A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤311【评析】根据正弦函数的单调递减区间,确定函数f(x)的单调递减区间,根据函数f(x)=sinωx(ω0)在区间π3,π2上单调递减,建立不等式,即可求ω的取值范围.类型3三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】(1)(2019·枣庄模拟)已知f(x)=sinωx-cosωxω23,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f(x)=2sinωx在区间-π3,π4上的最小值为-2,则ω的取值范围是________.【评析】这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:40分钟)一、选择题1.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()12A.y=2sin2x-π6B.y=2sin2x-π3C.y=2sinx+π6D.y=2sinx+π32.(2019·杭州期中)将函数y=sinx+φ2·cosx+φ2的图象沿x轴向左平移π8个单位后,
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时间: 2019-10-10
本文标题:专题4.5-函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科
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