液滴高度问题

12013年河南科技大学数学建模选拔赛承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：B队员签名：1.李拴拴2.杨鑫鑫3.王文东日期：2013年8月19日22013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注31液滴高度问题摘要本文针对理想固体平面上一定接触角的液滴高度随体积变化的规律问题，从物理化学、流体力学和软体物理学相关知识入手，综合考虑润湿情况、液滴重力、亲水性等不同情况下的形变，根据杨氏方程方程、铺展系数、拉普拉斯方程，通过对接触角、表面张力、液体密度的分析，对受到不同主导力的液体建立了沾附润湿下的球冠模型和铺展润湿下的液垫模型，从大量的数学推导中最终得到饱和高度和极限高度的方程，并通过几何原理推导出液滴直径及饱和体积的表达式，取接触角从010到0180每间隔010计算出对应的结果。在完全不浸润的的情况下接触角为0180，此时液滴在理想情况下为球体，考虑到重力作用导致的液滴向自身的塌陷，模型借用量纲分析建立了符合条件的准球体模型，并使用数学软件绘制出其正规轮廓图。这个模型最大的特色在于其考虑到表面张力与重力相互影响的问题，针对具体情况建立不同模型。但是，本文对问题考虑的全面性有待加强，如果可以综合考虑空气温度，液体纯净度，固体表面粗糙度，模型将更加精确，从而得出更接近实际情况的结果。关键词：接触角表面张力饱和高度极限高度拉普拉斯定律2一、问题重述在物理实验中，将不同体积的液滴放在一种固体材料的水平平面上，由杨氏方程可知：液滴与固体表面的接触角不变。在测量液滴静态下的高度时，发现随着液滴体积的递增，液滴的高度随之递增，直到液滴体积达到某个体积时，液滴高度达到最大值，此时的液滴体积即为饱和体积，对应的高度最大值称为饱和高度。当液滴体积从饱和体积开始继续递增时，液滴的高度开始随之递减，且随体积的增大递减量越来越小，直到趋于不变，此时的液滴高度称为极限高度。针对上述现象，需要针对不同液体，对一般的接触角0,π建立数学模型，得出出饱和高度、极限高度、液滴直径及饱和体积的表达式，取接触角从010到0180每间隔010计算出对应的饱和高度与极限高度的比、液滴直径及饱和体积，将最终计算的结果均舍入到四位有效数字列表表示。当接触角为0180时，用上述模型得出液滴饱和体积、饱和高度及其他相关参数，画出此时的正规轮廓图。二、问题分析对于水平固体平面上的液滴，其形态主要受表面张力与重力作用，表面张力使液滴有聚合趋势，重力作用使其向周围扩散，从而形成一个类似于凸平透镜的液垫。当表面张力占主导地位时，由于液滴在张力作用下总是力图使自己保持最小的表面积，结合几何知识，可将液滴模型表面可简化为球冠状。对于一定种类的液体，其接触角与表面张力是定值，需要对接触角、表面张力、及球冠尺寸等量的力学关系和几何关系进行深入分析，从而得出球缺高度与与已知量的关3系。对于问题一，可分为两个阶段，根据具体情况讨论。第一阶段分两种情况：1、根据对问题的分析和生活常识的理解，得出当液体密度越大时（如水银），分子间距越小，分子间作用力越强，表面张力和液滴内部凝聚力越强，越容易形成球缺，因此在达到饱和体积前将其视为球缺，建立模型求解。此外，由于氢键存在，水和低浓度水溶液溶液分子间作用力较大，也使用该模型求解。2、当液体密度较小时，相对应表面张力较小，重力作用起主导作用，此时液滴由于重力作用向下塌陷形成液垫，可以根据势能关系、铺展系数等建立模型。第二阶段：液体达到饱和体积后，可以从拉普拉斯定律入手考虑，结合热力学和流体力学相关知识建立模型，求得极限高度。对于问题二、三，在问题一建立三个模型的基础上，得出直径与饱和体积的表达式，用matlab写出运算程序，将接触角从010到0180每间隔010代入计算，并验证可行性与特殊角度的准确性。并以此计算为0180时的相关参数，从而画出此时饱和体积下液滴的正规轮廓图。三、条件假设1、固体材料表面为理想表面。2、固体材料表面绝对水平，与海平面重合。3、液滴绝对纯净。4、温度始终保持室温20摄氏度。45、压力始终保持一个标准大气压。6、重力加速度取9.78m/s。7、实验环境绝对纯净且无风。四、符号说明θ:接触角Wa：润湿功S：铺展系数sg：固气界面自由能lg：液气界面自由能sl：固液界面自由能：表面张力A:接触面积G：表面吉布斯自由能R：球缺半径P0：标准大气压P1：液滴内部压强P：压强差E：能量hmax：饱和高度hmin：极限高度W：重力势能5e:液垫厚度(饱和高度）：液体密度五、模型建立对于放在理想固体材料水平面上的液滴，当液滴种类一定时，由杨氏方程可知：液滴与固体表面的接触角不变。这种固体与气体接触面被液体与固体接触面取代的现象叫润湿。根据接触角不同，润湿效果不同，一般可分为三类：即沾附润湿、浸湿与铺展润湿，其沾附功、浸湿功、铺展系数与液滴的各项属性息息相关。其中沾附功：lglg(cos1)asgslW铺展系数lglg(cos1)sgslSsg，lg，sl分别是固气、液气、固液界面自由能，其意义是液体增加单位表面积时所需的能量。根据功能关系，界面张力在单位距离所做的功与界面能量变化量相等，因此液体界面张力与界面自由能在数值上相等。当液滴达到最大高度时处于平衡状态，接触角一定，满足杨氏方程：lgcossgsl6液滴表面张力及接触角示意图增加液体体积，由于张力作用相对于重力起主要作用，液滴高度随之增加，直到液滴达到饱和体积，高度随之达到最高，即饱和高度。体积继续递增，重力开始起主要作用，液滴高度开始递减，且递减量越来越少，直到达到极限高度。根据液滴高度变化的实际情况和基本公理，结合润湿概念，考虑到重力与张力相互影响作用，需要建立三个模型。在液滴达到饱和体积前，若张力起主导作用，将液滴表面视为球冠建立模型一，即球冠模型；若重力起主导作用，将液滴视为液垫建立模型二，即液垫模型；在液滴达到饱和体积后根据拉普拉斯方程建立模型三。模型一（球冠模型）：对于体积较小，密度较大的液滴，张力起主导作用。根据热力学第二定律，定温定压下自发过程的方向使吉布斯函数趋于减小：T,Pd0，表面吉布斯函数(GA表面），故T,PAAdddG表面(1-1)；由（1）式可知：在一定温度T、压强P下，当恒定时，表面积A趋于自动缩小。因此，在通常情况下，液体总是趋向于使自己保持最小的表面积。根据几何学原理，当物体体积一定时，球体的表面积最小，因此在没有外力影响的情况下，液体总是是趋向于形成球体。7考虑一个半径为R的球缺，由于整个表面都受到表面张力的作用，使得液体轻微地向自身塌缩以控制液滴内部的压强1p，大于大气压强0p，这涉及描述压强与张力的平衡关系，为了在这种几何状态下计算表面张力，假设液滴半径增加量为dR，那么液滴表面积将增加8RdR，于是表面能的增量为8sdERdR，它相应于表面张力所做的功WfdR，由此可推得8fR，界面受到两个力的作用：一个是作用于其表面2(4)R上的内外压差10dppp；另一个是表面张力。此二力的平衡导致了对于球状液滴的拉普拉斯定律：2/PR；由图像中的几何关系可得：max/1cosRh；另由拉普拉斯定律可得：02/PPR(3)；联立（2）（3）两式可得：0max2(1cos)/PPh；固液接触面的压力为：10maxppgh；由平衡条件可得1pp，00maxmax2(1cos)ppghh；整理可得饱和高度：max2(1cos)hg；8另，球缺公式可表示为：22231()3RRRhRhVdVRzdzRhh；液滴直径可表示为：max22221cos(1cos)hDRg。模型二（液垫模型）：当对体积较小，密度较小的液体，重力起主导作用。此时液垫的形状除去边缘部分几乎是扁平的，这是因为杨氏条件迫使液体与固体以一个角度相连接。液垫的厚度是由两个因素相互竞争的结果决定的：一个是重力，它力图减小液垫的厚度；另一个是表面张力，他在部分浸润区起着阻碍铺展的作用。液滴铺展足够大时，液垫边缘可忽略，此时其面积为A，由此可得其表面能为-SA，液垫厚度为e，则其重力为gAe，重力的微分方程为：dWgAede(2-1)对方程（2-1）两边积分可得液垫的重力势能：dWgAede即212WgAe（2-2）于是，能量E可写成：212ESAgAe（2-3）液垫的体积为：V=Ae，由此可得：VAe；9将A代人方程（2-3）可得：12VESgVee；液滴达到饱和体积后系统能量达到平衡，E取极小值；将上式整理得：2Seg（2-4）；由杨氏方程cossvsllv和铺展系数svsllvS联立可得：cos1lvS，即(cos1)lvS；将S带入式（2-4）得：2(cos1)*2(cos1)lvlvegg；定义毛细长度1lvkg；带入上式可得：12(cos1)ek模型三（拉普拉斯）：1使用拉普拉斯定律对任意表面一般表达式推导出。为确定表面上某一点的曲率，先选取在该点与表面相切的平面上的两个相互垂直的方向，过此二方向且垂直于切面的两个平面分别与表面相交于两条曲线，然后测量出这两条曲线在该点的曲率值。于是表面在该点的总曲率等于上述二曲率值之和，与同切面上的两方向的选取无关。如果在切平面上旋转此二方向，当两个曲率之一达到极大值时，另一个曲率必定为极小值。这就定义了该点的两个主曲率，而主曲率正是模型需要的量。这里用1R和2R分别表示曲面上给定点的两个主曲率半径。考虑到具有任意曲率的界面元的面积可表示为dsdxdy，界面元应取得足够小，使得在整个面元上可将曲率半径1R和102R视为常数。采取球面情况的推理方法计算穿过这一小界面元所伴随的压强跃变。如果沿边界的法线方向将面积元ds移动dz，那么长度dx和dy将分别变为：11(1)dzdxdxR；12(1)dzdydyR；经过此次移动所得到界面元的面积：111dSdxdy；精确到dz的一次项，可表示为：112(1)dzdzdSdSRR；移动dz引起表面能的改变sdE，表示为：1()sdEdSdS；等于张力经此移动所做的功：Wdfdz（df为作用做面元ds上的表面张力）于是可以推导出：1211()dfdSRR；11表面张力和压强的平衡可写成：10pdSpdSdf；这里0p为大气压，1p为变化后的大气压强。由以上公式可达推得：1211()pRR；2、需要对极限高度表达式进行推导。由普遍形式的拉普拉斯定律，液体受表面张力作用的压力p可表示为：1211()pRR；在水平面上，当液层面积充分大时，R2将充分大，上式可表示为：pR(3-1)；根据图像，由几何学知识得：min1coshR；将R代人（3-1）式可得：min(1cos)ph；有流体静力学压强公式得到：1pgh；由平衡条件得：min(1cos)ghh；将上式整理得出极限高度表达式：min(1cos)hg。模型四（准球模型）：对于一个接触角为180度的液球，由于其完全不浸润，设想构造一个这样的液球：先将疏水粉末和水混合在一起，得到一种水藏在里面而粉末留在表面的液状物，粉末因其疏