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命题及其关系、充分条件与必要条件(共3页)-1-高二文科数学基础辅导材料九命题及其关系、充分条件与必要条件学习目标:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.知识梳理一、命题及其关系1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若p,则q逆否命题若q,则p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语=()是都是任意(所有)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词()不是不都是某个某两个至少有2(n+1)个1个也没有3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.[提醒]当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.二、充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)若p⇒q且q/p,则p是q的充分不必要条件;(3)若p/q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;(4)若p⇔q,则p是q的充要条件;(5)若p/q且q/p,则p是q的既不充分也不必要条件.2.必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件;②p是q的必要不充分条件q是p的必要不充分条件;③p是q的充要条件q是p的充要条件;④p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则①若AB,则p是q的充分条件;②若BA,则p是q的必要条件;③若AB,则p是q的充分不必要条件;④若BA,则p是q的必要不充分条件;命题及其关系、充分条件与必要条件(共3页)-2-⑤若AB,则p是q的充要条件;⑥若AB且BA,则p是q的既不充分也不必要条件.考点一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点,多以选择题的形式出现,难度一般不大,往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下:1.判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性,解题时注意灵活应用.2.命题真假的判断方法①给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,则只需举一反例即可.②由于原命题与其逆否命题为等价命题,有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.例1(1)下列语句是命题的是()A.2016是一个大数B.若两直线平行,则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗?D.a≤15(2)下列命题是真命题的是()A.{∅}是空集B.{x∈N||x-1|<3}是无限集C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数(3)下列命题正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>-b,则-a>bC.若ac>bc,则a>bD.若a>b,则a-c>b-c变式1.已知命题“2,410xaxxR”是假命题,则实数a的取值范围是()A.4,B.0,4C.,4D.0,4例2命题“0,0aab若则”的逆否命题是()A.0,0aba若则B.0,0aab若则C.0,0aba若则D.0,0aba若则变式2.命题“若22xab,则2xab”的逆命题是()A.若22xab,则2xabB.若22xab,则2xabC.若2xab,则22xabD.若2xab,则22xab考点二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点,多以选择题形式出现,作为载体,考查知识面广,常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下:1.命题判断法设“若p,则q”为原命题,那么:(1)原命题为真,逆命题为假时,则p是q的充分不必要条件;(2)原命题为假,逆命题为真时,则p是q的必要不充分条件;(3)当原命题与逆命题都为真时,则p是q的充要条件;(4)当原命题与逆命题都为假时,则p是q的既不充分也不必要条件.2.集合判断法(同必记结论)命题及其关系、充分条件与必要条件(共3页)-3-3.等价转化法(同必记结论)例3(2017年高考天津卷)设xR,则“20x”是“|1|1x”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式3.设R,则“ππ||1212”是“1sin2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例4若条件:1px,且p是q的充分不必要条件,则q可以是()A.1xB.0xC.2xD.10x变式4.命题:e,ln0pxax“”为真命题的一个充分不必要条件是()A.1aB.1aC.1aD.1a考点三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围,具体解法如下:1.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.例5已知命题p:“关于x的方程240xxa有实根”,若p为真命题的充分不必要条件为31am,则实数m的取值范围是()A.1,B.1,C.,1D.,1变式5.已知条件,条件,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A.B.C.D.
本文标题:命题及其关系、充要条件-学案
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