工程力学：弯曲应力

第10章弯曲应力§10–1纯弯曲一、纯弯曲纯弯曲:只有M而无Q的平面弯曲.横力弯曲或剪切弯曲:既有M又有Q的平面弯曲.PPABaaP(+)(-)Q图-PPa(+)M图横力弯曲（剪切弯曲）:横截面上同时有剪力和弯矩.纯弯曲:如果横截面上剪力等于零，而弯矩为一常数，即只有正应力而无剪应力.二、纯弯曲时的正应力（由实验观察得如下现象：）a.变形后，所有横向线仍保持为直线，只是相对倾斜了一个角度。b.变形后，所有纵向线变成曲线，仍保持平行;上、下部分的纵向线分别缩短和伸长。中性层：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短，称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设：a.平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。b.各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算，要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。ydddy)(研究距中性层y处纵向纤维ab的变形：2、物理关系EyE——中性层弯曲后的曲率半径1、几何关系MzσCxy12aboodabyd——原长变形后3、静力学关系MzσdAyCxyz0dAFAN0dAzMAyMdAyMAz(1)确定中性轴的位置0AzydAS结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.ANdAF静矩MzσdAyCxyzdAEyAAydAE0横截面对z轴的静矩——中性轴Z一定通过横截面形心00ccAyAyydA(2)确定形心主轴结论:yz轴必为形心主轴AydAzM惯性积0yzAIyzdAdAEyzAAyzdAE0MzσdAyCxyz(3)导出弯曲正应力公式zAMydA惯性矩AZdAyI2解出:zIMydAEyyAAMdAyE2MzσdAyCxyz1zMEIzEI——截面的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力1、平面弯曲；2、具有纵向对称面的梁；3、材料在弹性范围内。三、正应力公式的使用条件§10–2横力弯曲时的正应力横截面上的最大正应力全梁的最大正应力(1)等直梁zIMymaxmaxzIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz323dWz62bhWz)1(3243DWz令--抗弯截面模量矩形:圆形:空心圆:(3)无水平对称轴的梁弯曲强度条件ztIyM1maxmaxzcIyM2maxmax][maxmaxzWM][1maxmaxtztIyM][2maxmaxczcIyM最大弯曲拉应力最大弯曲压应力(2)变截面梁:综合考虑M和确定σmaxzIyy2y2y1yz拉压抗拉压强度不等的材料强度计算的步骤根据正应力强度条件，可解决工程中的三类问题：⑴强度校核maxmaxzMW⑵截面设计maxzMW⑶确定容许荷载zMW例题：1、一外伸梁受力如图所示，材料的许用应力[]=160MPa,横截面为h/b=3的矩形，试确定此梁横截面尺寸h和b。例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材料的容许拉应力为容许压应力试校核梁的强度。40,MPa100MPaZ解（一）作梁的弯矩图如图最大正弯矩10.cMKNm最大负弯矩20.AMKNm(三)截面对中性轴的惯性矩332264200303017020030463017054121240.310zIm截面形心距底边3017085302001853017030200139cymm（二）确定中性轴的位置1.拉应力强度校核A截面为负弯矩，上部受拉max1AAzMyIC截面为正弯矩，下部受拉max2CCzMyI由于21CAMyMy，最大拉应力发生在C截面下边缘2maxmax34.540CCzMyMPaMPaI拉应力强度足够。（四）校核梁的强度（绘出应力分布图）A截面C截面A截面下部受压：max2AAzMyIC截面上部受压：max1CCzMyI由于，最大压应力发生在A截面的下边缘21ACMyMy2maxmax69100AAzMyMPaMPaI压应力强度足够。2．压应力强度校核A截面C截面①假设矩形截面上剪应力的方向和剪力Q的方向相同。②假设截面上剪应力沿宽度b是均匀分布的。导出的剪应力计算式为：*zzQSIb　　　　矩形截面梁的剪应力（推导略）在推导矩形截面梁的剪应力公式时，作如下两点假设：§10–4弯曲剪应力1、矩形截面梁式中：Q—横截面上剪力—需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分面积对中性轴的静矩。*zS*A—整个横截面对中性轴的惯性矩。zIb—需求剪应力处横截面宽度。*zzQSIb　　　　在处，在处，剪应力最大，即：2hy0;0ymax3322QQbhA最大剪应力是平均剪应力的1.5倍。QA平从上式可知，剪应力分布是沿梁的高度按抛物线规律分布.2233(4)2Qhybh图7-42.工字型截面梁的剪应力主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。可按照矩形截面梁的剪应力公式计算：*zzQSId式中：d—腹板宽度—图中因阴影部分面积对中性轴之静矩。*zS图7-5由式可知：时，最小；12hy时，最大。0y22211max221min()888()88zzbhdhQbhIdbhQbhId222211()()24424zhhQbhdyId（按抛物线规律分布）图7-53.圆形截面梁横截面上的最大剪应力a.圆截面：最大剪应力发生在中性轴上各点处max43QA最大剪应力是平均剪应力的倍。QA平43b.薄壁圆截面最大剪应力发生在中性轴上各点处：max2QA最大剪应力是平均剪应力的2倍。QA平4.剪应力强度条件梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴上，若以表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴的静矩，则梁的剪应力强度条件为：*maxzS*maxmaxmax79zzQSIb　　　　在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。在工程中，通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行剪应力强度校核。例题：试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[]=160MPa，[]=80MPa。§10–5提高弯曲强度的措施1选择合理的形状和截面][maxmaxzWMzWM][maxAWz较大可以提高梁的弯曲强度.(P107表7.1)2适当布置载荷和支座的位置][maxmaxzWM适当布置载荷和支座的位置可以降低最大弯曲数值提高梁的弯曲强度yxM0(+)qxlABA2125.0qlxM0qxyAB0.2l0.2ll2025.0ql202.0ql3等强度梁等强度梁:梁上各横截面上的最大应力都相等且等于许用应力.FABl/2l/2Chxb(x)bmin][)()(maxxWxM][)()(xMxW1.h=c,b=b(x)][)(6)()(2xMhxbxW2][3)(hPxxb][hb4F3A2F3minmaxQmax][h4F3bminxM(+)04Fl2.b=ch=h(x)hminh(x)鱼腹梁阶梯轴][bFx3)x(h][)(6)]([)(2xMxhbxW][b4F3hmin][bh4F3A2F3minmaxQmax