高等数学中有理分式定积分解法总结

1由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商()()PxQx的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商PxQx称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式Px与分母多项式Qx之间无公因式，当分子多项式Px的次数小与分母多项式Qx，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2422231xxdxx22222131xxxdxx解原式222212311xxdxdxdxxx324arctan3xxxC422222222222223321.11311311311131arctanxxdxxxxxdxxxxdxdxxxdxdxxxdxdxdxxxxxC例解原式2总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111xdxdxxx对于真分式PxQx，若分母可分解为两个多项式乘积Qx=12QxQx，且1Qx，2Qx无公因式，则可拆分成两个真分式之和：PxQx1212PxPxQxQx，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若1Qx或2Qx再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、1kPxxa、22lPxxpxq等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一()mkaxbdxcx例2.1.1321xdxx322331=xxxdxx解原式211=33xdxdxdxdxxx211=332xxInxCx总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二kmcxdxaxb例2.2.1232xdxx解令x+2=t,则2xt，有dxdt3232323222=44=111=44t42=Int+42n222tdxtttdttdtdtdtttttxCxx原式-+C=I总结：当被积函数形如时kmcxdxaxb，将其用换元法转换为()mkaxbdxcx，再按照后者解法求解2.3类型三2xlPdxaxbxc3223222322322312222x=dt11x-1dt1+tan=dtsettan3tan3tan1=dtset=sincos3sincos3sincosdtxdxxxxtttttttttttttt例2.3.1原式设=tant,x=tant+1,dx=set上式set22222223=-1coscostdcos+sin2dtdtcos2dt41cos21111111122=222arctan1224422tttttxxxxInxxxCxxxx=-In+cost+2t+2sintcosttant=x-1,cost=,sint=上式42222222221dx2312222=dx23111=d23-2d2231211=In23-2arttan+C22+bx+c+c+1lxxxxxxxxxxxxxxxaxbxx例2.3.2总结：当被积函数分母含有ax时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T或者2222221-Tx,sincos+tanset.x是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x将T降次，便于计算3.以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分22222222+3dx3102+3dx3101=d310310=In3102+3dx3102+32+3=310+525252115252=xxxxxxxxxxxxxxxxxABxxxxxxABxBAxxxx例3.1解法1+C解法2=+=原式211dx52310xxxx=In+C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公5式进行运算.例3.222dx211xxxx2222222=dx2111121122=212111111121d1212121324111211223xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原式d-dx=ddx=In-In+arctan+C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.例3.323dx11xxx2222223=d1121d211122112dd2111111d21dd221111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxInCxx总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sinsin1cosxdxxx.例如被积函数中含有nnaxbaxbcxd或时用换元法将根号去掉，例：1d1xxxx，3d11xx.虽然形式6各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松