高二等比数列练习答案

高二等比数列练习1．在等比数列{an}中，a1＝5，a9a10＝100，则a18＝()A．18B．19C．20D．21答案：C2．已知等比数列{an}中，a3＝－4，a6＝54，则a9等于()A．54B．－81C．－729D．729解析：选C.∵a3·a9＝a26，∴－4a9＝542，∴a9＝－729.3．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，a3a9.=________.解：法一：∵a2a10＝a26，∴a2a6a10＝a36＝1.∴a6＝1.∴a3a9＝a26＝1.法二：设公比为q，则a2a6a10＝a1q·a1q5·a1q9＝a31q15＝1，∴a1q5＝1.∴a3a9＝a1q2·a1q8＝(a1q5)2＝1.4．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….则此数列()A．是公比为q的等比数列B．是公比为q2的等比数列C．是公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列解析：选B.设新数列为{bn}，则{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.所以an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an＝q2，数列{bn}是公比为q2的等比数列．5．在等比数列{an}中，an＞0，若a1a2a3…a2012＝22012，则a2a2011＝()A．2B．4C．21005D．21006解析：选B.a1a2a3…a2012＝22012，∴(a1a2012)1006＝22012＝41006，∴a1a2012＝4，∴a2a2011＝4.6．(2011年海口市调研)在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11＝()A．48B．72C．144D．192解析：选D.∵a6a7a8a3a4a5＝q9＝8(q为公比)，∴a9a10a11＝a6a7a8·q9＝24×8＝192.7．在等比数列{an}中，首项a10，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1an，则公比q应满足()A．q1B．0q1C.12q1D．－1q0解析：选B.an＋1－an＝a1qn－1(q－1)0对任意正整数n都成立，而a10，只能0q1.8．在等比数列{an}中，an0，若a1a5＝16，a4＝8，则a5＝________.解析：∵an0，a1a5＝16，∴a3＝4.又∵a24＝a3a5，∴a5＝16.答案：169．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10＝________.解析：因为a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以a4＝2a14＝3或a4＝3a14＝2.所以a20a10＝q10＝a14a4，所以a20a10＝32或a20a10＝23.答案：32或2310．在等比数列{an}中a1＝8，q＝12，an＝12，则Sn等于()A．31B.312C．8D．15答案：B11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于()A.218B．－218C.178D．－178解析：选A.设公比为q，由题意，得a1q4＝－2，a1q7＝16，解得q＝－2，a1＝－18.所以S6＝a11－q61－q＝218.12．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．2D．－2解析：选A.S5＝a11－q51－q，∴44＝a1[1－－25]1－－2，∴a1＝4，故选A.13．(2010年高考浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－11解析：选D.由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a11＋25a11－22＝－11.14．若等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n＋m(n∈N*)，则实数m的取值为()A．－32B．－1C．－3D．一切实数解析：选C.a1＝S1＝32＋m，又a1＋a2＝34＋m，所以a2＝－34.又a1＋a2＋a3＝38＋m，所以a3＝－38.所以a22＝a1a3，即916＝(32＋m)(－38)，解得m＝－3.15．(2010年高考天津卷)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C.若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，1an＝(12)n－1.所以数列{1an}是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S5＝1×[1－125]1－12＝3116.16．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝__________.解析：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.∴S6＝1－q61－q＝41－q31－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.答案：317．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．解析：S8－S4＝q4·S4＝24·10＝160，S8＝170.答案：17018．等比数列{an}的公比q0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝__________.解析：∵{an}是等比数列，∴an＋2＋an＋1＝6an可化为a1qn＋1＋a1qn＝6a1qn－1，∴q2＋q－6＝0.又∵q0，∴q＝2.∴S4＝a11－q41－q＝121－241－2＝152.答案：15219．（2012年高考（浙江理））设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}.若2232Sa,4432Sa,则q=______________.20．(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)设数列{}na的前n项和为nS，已知数列nS是首项和公比都是3的等比数列，则{}na的通项公式na______________．21．(湖北八校2012高三第二次联考文)已知{}na是等比数列，24a，532a，则12231nnaaaaaa（）A．8(21)nB．8(41)3nC．16(21)3nD．2(41)3n22．已知数列{an}为等比数列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.解：(1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36且a1＋a3＝21－a2＝15.∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·(12)n－1＝3·23－n.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±2.23．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列．求插入的三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{an}，其公比为q，则a1＝83，a5＝272＝a1q4＝83·q4.∴q4＝8116，q2＝94.∴a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a31·q6＝(83)3·(94)3＝63＝216.法二：设这个等比数列为{an}，公比为q，则a1＝83，a5＝272，插入三项分别为a2，a3，a4.由题意a1，a3，a5也成等比数列，∴a23＝83×272＝36，故a3＝6，∴a2·a3·a4＝a23·a3＝a33＝216.24．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数．解：设这三个数为aq、q、aq，则aq＋a＋aq＝28，①aq·a·aq＝512②由②得a＝8.把a＝8代入①得：2q＋2q＝5，解得q＝2或12.∴这三个数为4,8,16或16,8,4.25．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1(－12)2＝3，故a1＝4.从而Sn＝4[1－－12n]1－－12＝83[1－(－12)n]．26．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：设该等比数列有2n项，则奇数项有n项，偶数项有n项，设公比为q，由等比数列性质可得S偶S奇＝17085＝2＝q.又∵S奇＋S偶＝a11－q2n1－q＝255，a1＝1，∴2n＝8.∴此数列的公比为2，项数为8.27．(12分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝7，a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an＝log3bn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设an＝a1＋(n－1)d，则a1＋2d＝7，a1＋6d＝15.解得a1＝3，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.(2)依题意得bn＝3na＝32n＋1.因为bn＋1bn＝32n＋332n＋1＝9，所以{bn}是首项为b1＝33＝27，公比为9的等比数列，所以{bn}的前n项和Tn＝27×1－9n1－9＝278(9n－1)．28．(13分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．(1)解：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．29．(13分)某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为5001＋12n万元(n为正整数)．(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An，Bn的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：(1)依题意知，An＝480n＋nn－12×(－20)＝490n－10n2，Bn＝5001＋12＋5001＋122＋…＋5001＋12n－600＝500n＋50012＋122＋…＋12n－600＝500n＋500×121－12n1－12－600＝500n－5002n－100.(2)依题意得，BnAn，即500n－5002n－100490n－10n2，可化简得502nn2＋n－10，∴可设f(n)＝502n，g(n)＝n2＋n－10.又∵n∈N*，可知f(n)是减函数，g(n)是增函数，又f(3)＝508g(3)＝2，f(4)＝5