导数与不等式证明(绝对精华)

1二轮专题（十一）导数与不等式证明【学习目标】1.会利用导数证明不等式.2.掌握常用的证明方法.【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x[ba,]都有)()(xgxf，可设)()()(xgxfxh，只要利用导数说明)(xh在[ba,]上的最小值为0即可．二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（4）常用方法还有隔离函数法，maxmin)()(xgxf，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.三极排查：易错易混用导数证明数列时注意定义域.2【课堂探究】一、作差（商）法例1、证明下列不等式：①1xex②1lnxx③xx1-1ln④1x1)-2(xlnx)1(x⑤)2,0(,2sinxxx二、利用maxmin)()(xgxf证明不等式例2、已知函数.22)(),,(,ln)1(1)(exexgRbaxabxaxxf（1）若函数2)(xxf在处取得极小值0，求ba,的值；（2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221eexx，总有)()(21xgxf.3变式：证明：对一切),0(x，都有exexx21ln成立.三、构造辅助函数或利用主元法例3、已知nm,为正整数，且,1nm求证：mnnm)1()1(.变式：设函数xxfln)(，22)(xxg（1x）.(1)试判断)()()1()(2xgxfxxF在定义域上的单调性；（2）当ba0时，求证22)(2)()(baabaafbf.4四、分析法证明不等式例4、设1a，函数aexxfx)1()(2.若曲线()yfx=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)Mmn处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：123eam.变式：已知函数xxxfln)(2．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的0t，存在唯一的s，使)(sft．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为)(tgs，证明：当2et时，有21ln)(ln52ttg.5五、隔离函数例5、已知函数)ln()(mxexfx.（Ⅰ）设0x是)(xf的极值点，求m并讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）当2m时，证明:)(xf0.变式：已知函数,,)(Rxxnxxfn其中Nn，且2n.（1）讨论)(xf的单调性；（2）设曲线)(xfy与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为)(xgy，求证：对于任意的正实数x，都有)()(xgxf；（3）若关于x的方程)()(为实数aaxf有两个正实数根21,xx，求证：.2112naxx6六、与数列结合例6、已知函数3ln)(axxaxf)(Ra.（1）求函数)(xf的单调区间；（2）求证：)2(1ln44ln.33ln.22lnnNnnnn，变式：（1）已知),0(x，求证：xxxx11ln11；（2）求证：)2(1131211ln1413121nNnnnn，.7【巩固训练】1.已知函数,ln21)(2xxxf求证：在区间),1(上，函数)(xf的图像在函数332)(xxg的图像的下方.2.已知函数1ln1xfxx．（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx；（Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值．83.已知210xx，求证：nnnxxxx222121.4.设函数)0()1ln()(xxxxf.（1）判断)(xf的单调性；（2）证明：enn)11((e为自然对数，*Nn).95.已知函数.)(xexfx（1）求函数)(xf的最小值；（2）设不等式axxf)(的解集为P，且P]2,0[，求实数a的取值范围；（3）设Nn，证明：1321eennnnnnnnn.6.已知)0()1ln()(2aaxxxf.(1)讨论)(xf的单调性；（2）证明：）（4211）（4311）（411ne(e为自然对数，*Nn，2n).107.已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()((1)求函数)(xf的最大值；(2)设ba0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag.8.设函数xbexaexfxx1ln)(，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为(1)2yex.(Ⅰ)求,ab；（Ⅱ）证明：()1fx.119.已知函数axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线xfy在点A处的切线斜率为-1.（Ⅰ）求a的值及函数xf的极值；（Ⅱ）证明：当0x时，xex2；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在0x，使得当，0xx，恒有xcex2.10.(选作)已知.1)1()(xexxf（1）证明：当0x时，0)(xf;（2）数列}{nx满足,1,111xeexnnxxn求证：}{nx递减，且nnx21.