运动三角形练习题的拓展

1运动三角形练习题的拓展例：如图（单位：M）．等腰直角三角形ABC以2M/s的速度沿着直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为2my．AD①．写出y与x的关系表达式；②．当x=2，3.5时，y分别是多少？10③．当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？B10Cl这是一道可运动的三角形向固定的正方形移动的题型．即是动与静结合的运动图形的题型．此题适合于训练学生以运动的观点来考察问题的思维变化的题型，也适用于训练学生开拓创新和考查学生的演变能力的题型，所以此题往往会被利用演变为中考压轴题．下面对这道练习题进行几种情形的演变和拓展．一、运动的三角形与固定的三角形不完全重叠的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，呈现出两个不同的抛物线形状的变化，属于分段函数．这里有隐藏的最大值，并且除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例1．如图，RTΔABC与RTΔDEF同在一条直线L上，其中∠C=90°，∠F=90°，RTΔABC与RTΔDEF是两个全等的三角形．又知RTΔABC的三边长正好是一组勾股数，且其周长为12厘米，AC＜BC．当B点与E点重合时，RTΔABC以1厘米/秒的速度沿着箭头方向，向着固定不动的RTΔDEF运动．设运动x秒后两三角形重叠部分的面积用y表示．①．求x与y之间的函数关系式．②．问几秒钟时两三角形重叠部分的面积是3平方厘米？③．两三角形重叠部分的面积是否能达到17平方厘米？为什么？④．几秒钟时两三角形重叠部分的面积最大？解：⑴．在RTΔABC中周长为12厘米的一组勾股数AD正好是3、4、5．根据∠C=90°，AC＜BC可知AC=3，BC=4，AB=5．P①．如图，当0＜x≤4时，设两三角形重叠时AB与DE相交的交点为P．l这时过P点作PQ⊥L于Q．则ΔEPB是等腰三角形．CEQBF∵PQ∥AC，BE=x，QB=x21，AC=3，BC=4∴BCBQACPQ即BCACBQPQx83∴y=2163832121xxxPQBE②．如图，当4＜x＜8时，设两三角形重叠时AB交DE于M，AB交DF于T．这时过M点作MN⊥l于N．则ΔEMB是等腰三角形，BN=x21，BF=x-4AD∵TF∥AC∥MN，AC=3，BC=42∴BCBFACTF即BCACBFTF)4(43x∴BCBNACMN即BCACBNMNx83ECNFBl∴y=4)316(169)4(438321)2121(222xxxxTFBFMNBN∴当0＜x≤4时，x与y之间的函数关系式是y=2163x．当4＜x＜8时，x与y之间的函数关系式是y=4)316(1692x．⑵．当y=3时有：2163x=3，得x=4或x=-4（不合题意，舍去）又当y=3时有：4)316(1692x=3，得x=320或x=4∴4秒或320秒时，两三角形重叠部分的面积是3平方厘米⑶．由x与y之间的函数关系式是y=2163x和y=4)316(1692x可知y的最大值是4．所以两三角形重叠部分的面积不能达到17平方厘米．⑷．又由x与y之间的函数关系式是y=2163x和y=4)316(1692x可知，316秒时两三角形重叠部分的面积最大，这个最大面积是4．二、运动的三角形能被固定的正方形恰好覆盖的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数．但这里的最大值不隐蔽．同样地除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例2．如图，△ABC是Rt△，∠C=90°，它的三边长由一组勾股数组成，周长为12，且BC＞AC．正方形DEFG的边长等于AB长，△ABC向着固定的正方形DEFG运动，且BC边与EF边同在一直线上．当B点与E点重合时，△ABC以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，x秒后固定不动的正方形DEFG与△ABC重叠的部分的面积为y．DG①求正方形DEFG的边长②求y与x之间的函数关系式．A③几秒钟后重叠部分的面积为38平方厘米．解：①周长为12的一组勾股数为3、4、5，所以在Rt△ABC中M∵∠C=90°，BC＞ACCEBFl∴AC=3，BC=4，AB=5∵正方形DEFG的边长等于AB长∴正方形DEFG的边长等于5②当0＜x≤4时，设AB交DE于M，那么BE=x，AC=3，BC=4，y=Rt△MEB的面积∵ME∥AC∴BCBEACEM，即ME=34xMTM3∴y=21328EBMEx当4＜x＜8时，设AB交GF于N，那么BF=x-4，AC=3，BC=4，y=四边形ACFN的面积∵NF∥AC∴BCBFACNF，即NF=3(4)4x2211113334(4)6(4)222248ABCNFBySSACBCBFNFxx③当y=38，且y=238x时，得23883x∴128833xx，（不和题意，舍去）又当y=38，且y=236(4)8x时，得236(4)8x=38∴280(4)9x∴1245454433xx，（不和题意，舍去）∴当38秒或3544秒后重叠部分的面积为38平方厘米．三、运动的三角形与固定的三角形恰好完全重叠的情形．这种情形的特点是：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，也呈现出两个不同的抛物线形状的变化，也属于分段函数．但这里的最大值也不隐蔽．同样地除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a厘米，AC=B厘米（a＞ｂ），且a、B是方程04)1(2mxmx的两根．又知AB=5厘米．①求a和B的值②若△DEF与△ABC能完全重合，其中BC边与EF边都在同一条直线上，当E与B重合时，△DEF以1厘米/秒的速度匀速向左运动．设移动X秒后，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y平方厘米．求y与х之间的函数关系式，又问几秒钟后两个三角形重叠部分的面积为38平方厘米．解：①∵a、B是方程04)1(2mxmx的两根∴a+B=M-1，aB=M+4又∵在Rt△ABC中222ABBCAC且BC=a，AC=B，AB=5∴2225ba4∴abba225)(2AD∴)4(225)1(2mm03242mmCBEF4821mm（不合题意舍去）∴a+B=M-1=7，aB=M+4=12AD∴方程04)1(2mxmx可化为01272xxM解方程01272xx得4321xxCEBF∵a、B是方程04)1(2mxmx的两根，且a＞ｂ∴a=4，B=3③如图，当0＜x≤4时，设△DEF与△ABC重叠时，AB与DE交于M点．则有，BE=X，AC=B=3，BC=a=4，y=△MEB的面积．∵AC∥ME∴BCBEACME，即34MEx∴y=21328BEMEx所以，当0＜x≤4时，y与х之间的函数关系式是y=238x．④当4＜x≤8时，设△DEF与△ABC重叠时，AC与DF交于N点．则有，BF=x-4，DE=B=3，EF=a=4，CF=8–x，y=△NCF的面积．DA∵NC∥DEN∴EFCFDENC，即3(8)4DECFNCxEF∴y=213(8)28NCCFxECFB所以，当4＜x≤8时，y与х之间的函数关系式是y=23(8)8x在0＜x≤4中，当y=38时有，23883x所以1x=38，2x=-38（不合题意，舍去）．在4＜x≤8中，当y=38时有，238(8)83x所以1x=316，2x=332（不合题意，舍去）答：y与х之间的函数关系式是y238x或y=23(8)8x，当38秒或316秒时两个三角形重叠部分的面积为38平方厘米．四、运动的三角形不能被固定的正方形完全覆盖的情形．这种情形更为复杂：重叠部分的面积从开始到结束的变化中，呈现出五个不同的抛物线形状的变5化，属于分段函数．这里也有隐藏的最大值，并且除最大面积外，任何一个面积的产生都可以找到两个不同的时间而得到．例4．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当B、R两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S2cm．解答下列问题：⑴当t=3秒时，求S的值．⑵当t=5秒时，求S的值．⑶求S与t的函数关系式，并求S的最大值．AD解：⑴当t=3秒时，则BR=3，如图，设AB交PR于E，过P作PF⊥l于F，则FR=4，PF=3．PE由EB∥PF得FRBRPFEB即49EB所以S=BEBR21=8272cmLQFBRC⑵当t=5秒时，在正方形外的三角形面积正好等于第一小问在正方形内的三角形的面积，由于三角形PQR的面积为12，所以S=12—827=8692cm⑶五个分段函数．①当0秒＜t≤4秒时，283tS，（0＜S≤6)②当4秒＜t≤5秒时，12)8(832tS，（6＜S≤869)③当5秒＜t≤8秒时，S=12—2)5(4321t—2)8(4321t=16165)213(432t所以，当t=213时，S有最大值为161652cm．（869＜S≤16165)④当8秒＜t≤9秒时，12)5(832tS，（6≤S＜869)⑤当9秒＜t＜13秒时，12)13(832tS，（0＜S＜6)