菲涅耳衍射仿真

平行光入射情况下圆孔和圆屏的菲涅耳衍射图样仿真摘要：在平行光入射情况下，利用Matlab编程仿真不同尺寸的圆孔和圆屏的菲涅耳衍射图样，并验证巴比涅原理。关键词：菲涅耳衍射巴比涅原理matlab仿真引言菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观察的衍射现象。此时直接运用公式定量计算菲涅耳衍射，数学处理十分复杂。因此，为研究菲涅耳衍射现象，可采用matlab仿真的方式。1菲涅耳衍射原理1.1基尔霍夫衍射公式最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他用光的干涉理论对惠更斯原理加以补充，并予以发展，从而相当完善地解释了光的衍射现象。基尔霍夫的研究弥补了菲涅耳理论的不足，他从微分波动方程出发，利用数学场论中的格林定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅耳原理较完善的数学表达式，建立了光的衍射理论。其中，、分别是、与之间的夹角。1.2菲涅耳近似如图所示，孔径平面和观察平面分别取直角坐标系(𝑥1,𝑦1)和(𝑥,𝑦),则由几何关系有对该式作二项式展开，有𝐫=𝐳𝟏+𝟏𝟐𝒛𝟏[(𝒙−𝒙𝟏)𝟐+(𝒚−𝒚𝟏)𝟐]−𝟏𝟖𝒛𝟏𝟑[(𝒙−𝒙𝟏)𝟐+(𝒚−𝒚𝟏)𝟐]𝟐+⋯当z1大到使得上式第三项引起的相位变化远远小于π时，即222111rzxxyyk[(𝑥−𝑥1)2+(𝑦−𝑦1)2]28z13≪𝜋上面第三项以及以后的各项都可略去，简化为r=z1+12𝑧1[(𝑥−𝑥1)2+(𝑦−𝑦1)2]=z1+𝑥2+𝑦22𝑧1−xx1+𝑦𝑦1𝑧1+𝑥12+𝑦122𝑧1这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅为𝐸̃(𝑥,𝑦)=exp(𝑖𝑘𝑧1)𝑖𝜆𝑧1∬𝐸̃(𝑥1,𝑦1)exp{𝑖𝑘2𝑧1[(𝑥−𝑥1)2+(𝑦−𝑦1)2]}𝑑𝑥1𝑑𝑦1∑令ℎ(𝑥,𝑦)=exp[ik2z1(x2+y2)]C=exp(ikz1)iλz1则𝐸̃(𝑥,𝑦)=𝐶𝐸̃(𝑥1,𝑦1)∗ℎ(𝑥,𝑦)1.3衍射的巴比涅原理巴比涅原理描述的是两个互补屏的衍射场之间的关系。它可以由基尔霍夫衍射公式直接导出。若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，这样的一对衍射屏称为互补屏。设𝐸1̃(𝑃)和𝐸2̃(𝑃)分别表示∑1和∑2单独放在光源和观察屏之间时，观察屏上P点的光场复振幅，𝐸0̃(𝑃)表示无衍射屏时P点的光场复振幅，根据惠更斯-菲涅耳原理，𝐸1̃(𝑃)和𝐸2̃(𝑃)可表示成对∑1和∑2开孔部分的积分，而两个屏的开孔部分加起来就相当于屏不存在，因此𝐸0̃(𝑃)=𝐸1̃(𝑃)+𝐸2̃(𝑃)该式说明，互补屏在衍射某点产生的复振幅之和等于光波自由传播时在该点产生的光场复振幅。2matlab仿真程序设计2.1菲涅耳衍射的实现在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅可表示为𝐸̃(𝑥,𝑦)=𝐶𝐸̃(𝑥1,𝑦1)∗ℎ(𝑥,𝑦)其中ℎ(𝑥,𝑦)=exp[ik2z1(x2+y2)]C=exp(ikz1)iλz1因此，在matlab中可以使用函数conv2实现菲涅耳衍射。需要注意的是h(x,y)存在于整个空间中,matlab自然无法实现，但可选取有限的h(x,y),使在𝐸̃(𝑥1,𝑦1)上的每一点的响应h(x,y)完全覆盖观察屏，即可达到相同效果。2.2衍射屏的实现在matlab，衍射屏与观察屏可以用一个二维矩阵表示。因为使用平行光入射,所以通光处光场复振幅相同；不通光处，复振幅为0。因此一个简单的圆孔衍射屏可以用以下矩阵表示(0000000100011100010000000)而其互补屏则可用以下矩阵表示(1111111011100011101111111)2.3参数选择2.3.1菲涅耳数由于菲涅耳近似的条件过于繁琐，所以采用另一种判断方式，菲涅耳数F。F=r2𝑧𝜆=kr22𝜋𝑧其中，是孔径的尺寸，是孔径与观察屏之间的距离，是入射波的波长。假若，则衍射波是处于近场，可以使用菲涅耳衍射积分式来计算其物理性质。当F≪1时，可以使用夫琅禾费积分式来计算其物理性质。可知菲涅耳数决定了衍射的图样，所以希望只输入菲涅耳数，输出衍射图样。2.3.2屏幕尺寸采用正方形屏幕，令其半边长为L。令圆孔半径为r,则有如下关系L=βrβ≥12.3.3采样间隔由ℎ(𝑥,𝑦)=exp[ik2z1(x2+y2)]可知，其角频率ω为ω=k2z1由采样定理可知，采样频率。ω1必须满足以下条件ω1≥2𝜔令g(x,y)=x2+𝑦2则ℎ(𝑥,𝑦)=exp[ik2z1g(x,y)]设g(x,y)的采样间隔为∆T,x,y有相同的采样间隔∆t,则∆T=2x∆t+2y∆t∆T=2πω1≤2𝜋𝑧1𝑘所以∆t≤𝜋𝑧12𝑘𝐿≤πz1𝑘(𝑥+𝑦)所以∆t=πz1𝑝𝑘𝐿其中p≥2p越大，采样间隔越小。容易得到行与列采样数n为n=2L∆tn=2L2𝑝𝑘𝜋𝑧1将菲涅耳数F代入得n=4β2pFβ=√𝑛4𝑝𝐹≥1菲涅耳数由k,z,r决定，屏幕尺寸则由n,p，F决定。可令k=π,r=1,则z=kr22𝜋𝐹。所以菲涅耳衍射的仿真函数接受3个参数，菲涅耳数F,采样数n,清晰度p。3仿真结果3.1圆孔的菲涅耳衍射选取F=10,n=400,p=8时的圆孔衍射衍射图样光强分布图中央剖面光强分布图3.2圆屏的菲涅耳衍射选取F=10,n=400,p=8时的圆屏衍射圆屏衍射图样光强分布图中央剖面光强分布图3.3验证巴比涅定理选取F=10,n=400,p=8时的正方形衍射屏正方形衍射图样光强分布图中央剖面光强分布图选取F=10,n=400,p=8时的圆孔衍射E1(𝑝)与F=10,n=400,p=8时的圆屏衍射E2(𝑝)E3(𝑝)=𝐸1(𝑝)+𝐸2(𝑝)E3(𝑝)图样E3(𝑝)分布图E3(𝑝)与对应正方形衍射屏中央剖面光强分布对比图可见巴比涅定理成立。3.4夫琅禾费衍射菲涅耳数F≪1时，衍射图样为夫琅禾费衍射。选取F=0.1,n=400,p=2F=0.1时圆孔衍射图样F=0.1时圆孔衍射光强分布图F=0.1时圆孔衍射中央剖面光强分布图图样与教科书基本相符。总结与展望利用所学知识基本完成了菲涅耳衍射的仿真。但在完成课程设计的过程中深深的感受到自身各方面的不足。还需更为努力。对于该仿真，因为使用了卷积，当采样数过大时，运算速度会变得很慢。该仿真还有更好的实现方式，是基于傅里叶变换的，可大大降低时间复杂度，无奈能力，精力有限，就不去实现了。参考文献【1】奥本海姆.,OppenheimA,刘树棠.信号与系统[M].西安:西安交通大学出版社,1998.【2】叶玉堂,饶建珍,肖峻.光学教程[M].北京:清华大学出版社,2005.【3】维基百科编者.菲涅耳衍射[G/OL].维基百科,2014(20140701)[2015-12-23].=%E8%8F%B2%E6%B6%85%E8%80%B3%E8%A1%8D%E5%B0%84&oldid=31753533.