行列式的计算--中英文对照

行列式的计算摘要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具.本文从行列式的计算出发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧.关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法引言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法.1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖(1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习《高等代数》时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦.这里我讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率.1基本概念的简单介绍1.1n级行列式定义1]1[n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211（1）等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnjjjaaa2121的代数和.其中njjj21是1,2,,n的一个排列，nnjjjaaa2121的每一项都按下列规则带有符号：当njjj21是偶排列时，nnjjjaaa2121带有正号，当njjj21是奇排列时，nnjjjaaa2121带有负号.1.2矩阵在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计算行列式过程中可能要用到矩阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念.定义2]1[由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表111212122212nnsssnaaaaaaaaa（2）称为一个sn矩阵.特别地，当sn时，（1）称为（2）的行列式，如果把（2）记作A，则（1）表示为A.定义3]1[在行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211中划去元素ija所在的第i行和第j列后，剩下的2)1(n个元素按照原来的排法构成一个1n级行列式nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111（3）称为元素ija的余子式，记作ijM，而ijjiM)1(称为ija的代数余子式，记作：ijjiijMA)1(（4）定义4]1[我们把112111222212ssnnsnsnaaaaaaaaa（5）称为矩阵（2）转置，记作A或TA，显然，sn矩阵的转置是ns矩阵.定义5]1[在一个n级行列式D中任意选定k行k列)(nk位于这些行和列的交点上的2k个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的一个k级子式.2行列式的性质按照行列式的值可分为以下几类：性质1行列式值为01)如果行列式有两行相同，则行列式值为0;2)如果行列式有两行成比例，则行列式值为0;3)行列式中有一行为0，则行列式的值为0.性质2行列式值不变1)把一行的倍数加到另一行，行列式值不变,即nnnnknkkkninkikinnnnnknkkiniinaaaaaacaacaacaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211（6）其中Rc.2)行列互换，行列式值不变,即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111（7）3)如果行列式的某一行是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和,这两个行列式除这一行外其余与原来行列式对应相同,即nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211（8）性质3行列式的值改变一行的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行就等于用该数乘以此行列式nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211（9）性质4行列式反号对换行列式两行的位置，行列式反号nnnniniiknkknnnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2121211121121212111211（10）3行列式的计算3.1一些重要的公式和结论(1)行列式按行（或列）展开设)(ijaA为n级方阵，ijA为ija的代数余子式，则jijiAAaAaAajninjiji,0,2211（11）jijiAAaAaAanjnijiji,0,2211（12）(2)设A为n级方阵，则AAT（13）(3)设A为n级方阵，则AkkAn（14）(4)设BA,为n级方阵，则BAAB,但BABA（15）BAABBAAB,（但一般地BAAB）（16）(5)(拉普拉斯定理)设在n级行列式D中任意取定了)11(nkk个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.(6)设A为m级方阵，B为n级方阵，则：00mmmnnnAAABBB,但是：0(1)0nmnmnmBABA（17）(7)范德蒙德行列式1222212111112111()nnnjiijnnnnnxxxDxxxxxxxx（18）(8)一些特殊行列式的值111222nnn（19）对角行列式上三角行列式下三角行列式111222nnn（20）次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式说明：（19）（20）中的行列式中*号处的元素不全为零.3.2低级行列式的计算3.2.1利用行列式定义，性质例1计算行列式yxyxxyxyyxyxD3解：可以直接按照定义把行列式写开，得)(2))((233223yxyxyxyxD.3.2.2利用三角化法例2计算行列式3112321014D解：利用三角化法：4105502114101232113D112(5)011014112(5)01125005.3.3n级行列式的计算3.3.1利用定义3.3.2逐行（列）相减（加）法3.3.3利用因式定理法3.3.4递推降级法3.3.5拆分法3.3.6数学归纳法3.3.7利用公式和定理参考文献[1]王萼芳，石生明．高等代数[M]．北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,1988．03．[2]张禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．北京高等教育出版社,1983．04．[3]李志慧，李永明．高等代数分析与选讲[M]．陕西师范大学数学与信息科学学院,2005．09．[4]耿锁华．行列式性质的应用[M]．南京审计学院出版社,2006．01．[5]高丽，郭海清．两类特殊行历史的计算[M]．西南民族大学出版社,2007．06．[6]刘崇华．一类行列式的计算公式[M]．南宁大学出版社,2006．04.[7]杨立英，李成群．n级行列式的计算方法与技巧[M]．广西师范学院出版社,2006．01.[8]孙清华，孙昊，李金兰．高等代数内容、方法与技巧[M]．华中科技大学出版社,2006．08.[9]毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳(第二版)[M]．华中理工大学出版社,2007．06.ThecalculationofdeterminantAbstractDeterminantisanimportanttooltostudyinhigheralgebra.Inthispaper,fromthedeterminantcalculationbyexamples,introducessomemethodsofdeterminantcomputation,atthesametime,thepreliminarycalculationmethodisgiven.Somespecialdeterminant,drawsomeaboutthedeterminantcalculationskills.KeywordsDeterminant;triangulation;factorizationtheorem;recursivemethod;mathematicalinductionIntroductionSolvingthedeterminantinlinearequations,itisthefirstexpressionisashorthand,nowisaveryusefultoolinmathematics.ThedeterminantisinventedbyLeibnizandtheJapanesemathematicianSekitakakazu.ContemporaryJapanesemathematicianSekiTakakazuinhisbookVthematicmethodsolutionalsoproposedtheconceptandalgorithmofdeterminant.In1750,theSwissmathematicianCramer(1704-1752)inhisbooklinearalgebraanalysisguide,thedefinitionofthedeterminantandexpansiongivesarelativelycomplete,clear,andgivesnowwecallthesolutionoflinearequationsoftheCramer'srule.Later,themathematicianBeiZu(1730-1783)willdeterminethemethodofdeterminanteachsymbolisasystematicconcept,usingthecoefficientdeterminantpointsouthowtojudgeahomogeneouslinearequationswithnon-zerosolution.Thedeterminantisonebranchofmathematicsasatool,welearninHigherAlgebra,thebookdescribesonlythedeterminantofsomesimplecalculationmethods,butinthefaceofthecomplicatedorskillsrelativelystrongdeterminant,severalmethodsareconfinedtothebook,theproblemabitoftrouble.HereIdiscusssomemethodsforcalculatingdeterminant,thedeterminanttochooseaccordingtodifferentmethodtocalculatetherelativesimple,toimprovetheefficiencyofproblemsolving.1AbriefintroductiontotheBasicConcepts1.1ndetermi