第6章-电路分析.

《电路分析简明教程》§6-1正弦量的特征§6-2相量分析法基础§6-3复阻抗与复导纳§6-4正弦稳态电路的相量分析法§6-5正弦稳态电路的功率第六章正弦稳态电路的相量分析法*§6-6含耦合电感元件的正弦稳态电路分析*§6-7正弦稳态电路的频率特性*§6-8多个不同频率正弦激励稳态电路的分析*§6-9三相电路分析概述*§6-10应用实例*§6-11计算机仿真分析正弦稳态电路本章学习要求《电路分析简明教程》本章中心内容主要讨论正弦稳态电路的基本分析方法—相量分析法。从介绍正弦交流电的特征入手，引出正弦量的相量表示，基尔霍夫定律和电路元件VAR的相量形式、复阻抗的概念等。在此基础上，利用相量法研究了几种典型正弦稳态电路的电压、电流和功率的计算等。第六章《电路分析简明教程》§6-1正弦量的特征◆正弦稳态电路在工程上泛称交流电路，它是指在单一频率的一个或多个正弦电压、电流激励下，处于稳定状态的线性非时变动态电路，它的暂态响应已经消失，它的全部稳态响应（各支路的电压、电流）是与激励相同频率的正弦量。◆正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。◆正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。◆不论在实际应用中还是在理论分析中，正弦稳态分析都是十分重要的。§6-1《电路分析简明教程》一、正弦量的三要素1、正弦量(1)正弦波，如右图(a)、(b)所示。随时间按正弦规律变化的电压、电流等物理量统称为正弦量。正弦量的表示方法：(2)函数式，称为正弦量的瞬时值表达式。既可以采用正弦函数形式，也可以采用余弦函数形式，本课程采用正弦函数。i=Imsinωt对应于图(a)i=Imsin(ωt+ψi)对应于图(b)◆正弦电压和电流是周期电压和电流的基本形式。(a)(b)§6-1《电路分析简明教程》(1)幅值(振幅、最大值)2、正弦量的三要素i=Imsin(ωt+ψi)反映正弦量变化幅度的大小，它是正弦量在整个变化过程中的最大值。如电流表达式中Im是幅值。(2)周期T、频率f、角频率ωT、f和ω都是用来表示正弦量变化快慢的参数。正弦量每重复变化一次所需要的时间称为周期T，单位是秒(S)；每秒时间内正弦量重复变化的次数称为频率f，单位为赫[兹](Hz)；正弦量在单位时间内变化的角度称为角频率ω，单位为弧度每秒（rad/s）。T、f和ω三个参数之间的关系是Tfπ2π2Tfπ2π2§6-1《电路分析简明教程》i=Imsin(ωt+ψi)(3)相位角(相位)、初相位(初相)相位反映了正弦量变化的进程，如电流表达式中的(ωt+ψi)是相位；不同时刻的相位不同，正弦量的瞬时值也不同。相位的单位是弧度(rad)或度。初相是t=0时的相位，是正弦波的正半波的起始点到计时起点（坐标原点）的相位角，如电流表达式中的ψi是初相。§6-1初相的大小与所选取的计时起点有关。如右图u1的波形，其初相ψu=70°。若计时起点在虚线u轴，则ψu=0°。u《电路分析简明教程》◆幅值、角频率（频率、周期）和初相称为正弦量的三要素。一个正弦量在参考方向确定的条件下，可由这三个参数完全确定。如果计时起点选在正半波的区间，则初相为正值；若选在负半波的区间，则其初相位为负值，例如右图u2的波形，其ψu=－40°。习惯上规定：§6-1-40o《电路分析简明教程》例已知右图元件通过的正弦电流的Im=10mA，f=1Hz，初相ψ=rad。试写出该电流的函数表达式，并求出当t=0.5s和t=1.25s时电流瞬时值的大小及实际方向。解该电流的角频率ω=2πf=2πrad/s故电流的函数表达式为i=10sin(2πt+)mA§6-1i为负值，表示电流的实际方向与参考方向相反。i为正值，表示电流的实际方向与参考方向相同。当t=0.5s时i=10sin(2π×0.5+)mA=－7.07mA当t=1.25s时i=10sin(2π×1.25+)mA=7.07mA《电路分析简明教程》二、相位差两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用j表示，习惯上规定|j|≤180°。设u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)则它们的相位差为j=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi◆两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，是不随时间而改变的常量，也与正弦量的计时起点无关。◆在比较两个正弦量的相位差时，必须：两者的频率相同，函数形式相同，函数前面的符号都为正或都为负，初相位的单位相同。否则不能比较。§6-1《电路分析简明教程》两个同频率正弦量的相位关系(a)u超前i在图(a)中，j=ψu-ψi＞0，则称u超前于i(或者说i滞后于u)，其意义是u比i先到达最大值(或零值)。在图(b)中，j=ψu-ψi＜0，则称u滞后于i(或者说i超前于u)。§6-1(b)u滞后i《电路分析简明教程》两个同频率正弦量的特殊相位关系(a)同相，两个同频率正弦量的相位差j0，表示两个正弦量同时达到正最大值、负最大值和零值。(b)反相，两个同频率正弦量的相位差j180°，表示一个正弦量为正最大值时，另一正弦量为负最大值。(c)正交，两个同频率正弦量的相位差j＝90°，表示一个正弦量(u)超前另一个正弦量(i)90°。§6-1《电路分析简明教程》例(1)已知正弦电压u1=-10sin(100t+40°)V，u2=8cos(100t+)V，求它们的相位差。(2)若正弦电压则u1与u2的相位差为j=-140°-150°=-290°=70°(2)由于u1与u2的频率不同，故它们的相位差不能进行比较。§6-1u2=8cos(100t+)V=8sin(100t+60°+90°)V=8sin(100t+150°)Vu1=10sin(100t+40°)V，u2=8cos(200t+60°)V，求它们的相位差。解(1)u1和u2是同频率的正弦量，但它们的函数形式不同，函数前面的符号也不同，初相位的单位不同，故必须将u1和u2改变为u1=-10sin(100t+40°)V=10sin(100t-140°)V《电路分析简明教程》三、有效值正弦交流电压和电流的瞬时值随时间变化而变化，工程上通常采用有效值来表示其大小。电压、电流的有效值分别用大写字母U、I表示。有效值是根据电流的热效应来确定的。当周期电流i流过电阻R时，在一个周期T内所消耗的电能为若直流电流I流过电阻R时，在相同时间T内所消耗的电能为§6-1tRiWT02交d﹦当上述两者消耗的电能相等时，则这个直流电流I的数值就称为周期电流的有效值，即TRIW2直﹦《电路分析简明教程》TtuTU02d1﹦tiTITd1﹦02上式为周期电流的有效值的定义式，又叫方均根值，它适用于一切周期量。同理，可得周期电压的有效值为对于正弦交流电流i=Imsin(ωt+ψi)的有效值为同理可得正弦电压有效值§6-1《电路分析简明教程》可知正弦电流、电压的最大值与有效值的关系分别是UU2﹦mII2﹦m若交流电压有效值为U=220V，U=380V注意：◆通常所说的正弦电流、电压值，不作特殊说明，都指的是有效值。例如，日常生活中的交流电为220V、380V，指的是有效值；交流电表测量的电流和电压一般是有效值；各种交流电气设备铭牌上所标的额定电流和额定电压也是有效值。◆严格区分电流、电压的瞬时值、最大值、有效值的符号：其最大值为Um311V，Um537VUUuIIi、、；、、mm§6-1《电路分析简明教程》例已知某正弦电流，当t=0时，其值i(0)=1A，并已知其初相位为60°，试求其有效值。解根据题意，写出该正弦电流的瞬时值表达式为060sinA1i=Imsin(ωt+60°)当t=0时i(0)=Imsin60°=1A求得Im==1.15A故有效值为0.813AA﹦21.15﹦2﹦mII§6-1《电路分析简明教程》§6-2相量分析法基础一、正弦量的相量表示•正弦稳态电路是指在单一频率正弦电压、电流激励下处于稳态的线性、非时变动态电路。§6-2•正弦稳态电路分析的基本依据仍然是基尔霍夫定律和元件的VAR两类约束。•由于电感元件和电容元件的VAR是微分关系，因此，按两类约束列写的电路方程是非齐次微分方程，若用一般的数学方法（如待定系数法）求解其稳态响应（即微分方程的特解）将是很麻烦的。《电路分析简明教程》•当正弦量用“相量”表示后，则可将求解微分方程的问题转化为求解复数代数方程的问题，并且，使直流电阻电路的分析方法得以移植到正弦稳态电路分析之中。•用相量表示正弦量，实质是用复数表示正弦量。§6-2《电路分析简明教程》1、复数122﹦ba(1)复数的表示形式代数形式：A=a+jbj=为虚数单位指数形式：在电路分析中，通常将复数的指数形式写成极坐标形式：在上列式中，a和b为复数的实部和虚部，和ψ为复数的模和幅角。它们之间的关系为a=γcosψb=γsinψ复数可以在复平面上用一有向线段表示，如上图所示。§6-2三角形式：(cossin)Aj《电路分析简明教程》例把下列复数化成极坐标形式：(1)A=4-j5；解用极坐标形式表示复数，必须求出复数的模和幅角。其模总为正值，而求幅角ψ时，必须要把a和b的符号保留在分子、分母内，以便按右图正确判断ψ角所在象限，并注意取180°。(2)A=-2+j8；(3)A=-6-j4。(1)A=4-j5=/arctg(-5/4)=6.4/-51.34°(幅角在第四象限)(2)A=-2+j8=/arctg（8/-2）=8.25/180°-75.96°=8.25/104.04°(3)A=-6-j4=/arctg-4/-6=7.21/-180°+33.69°=7.21/-146.31°§6-2《电路分析简明教程》2、相量和相量图相量—表示正弦量的复数。依据：一个正弦量是由它的幅值（或有效值）、频率和初相三要素决定的。而正弦量乘以常数、微分、积分，几个同频率正弦量代数相加，其结果仍为同频率的正弦量。因此，在单一频率的正弦稳态电路中，各支路的电压和电流（稳态响应），都是与激励相同频率的正弦量。§6-2所以在正弦稳态电路分析中，正弦量的频率是已知的，求解正弦量的三要素可简化为求解二要素，即幅值（或有效值）和初相。而复数也有两要素，即模和幅角，它们与正弦量的二要素有一一对应的关系。于是，正弦量可用复数(相量)表示。《电路分析简明教程》(2)复数的运算乘除运算—采用极坐标形式例已知复数A1=3+j5和A2=4-j3，求它们的和、差、积及商。解A1=3+j5=/59°加减运算—采用代数式故A1+A2=3+j5+4-j3=7+j2§6-2A2=4-j3=/-37°=5/-37°A1-A2=3+j5-4+j3=-1+j8A1·A2=/59°×5/-37°=29.15/22°《电路分析简明教程》正弦量的相量表示：用复数的模表示正弦量的有效值，用复数的幅角表示正弦量的初相。◆相量是一个表示正弦量的复数。为了和一般复数相区别，强调相量是代表正弦量的复数，相量用大写字母上加一点表示，如等。例如，己知正弦电压、正弦电流则其相量分别为u=Umsin(ωt+ψu)i=Imsin(ωt+ψi)以上相量的模是正弦量有效值，亦称为有效值相量。相量的模也可以用正弦量的幅值，称为“幅值”相量，即今后，除非特别申明，本课程中的相量均为有效值相量。§6-2《电路分析简明教程》同样，若已知相量，也可直接写出它表示的正弦量，但必须给出正弦量的角频率。若题中未给出频率，则设定其角频率为。相量可以在复平面上用有向线段表示，有向线段的长度表示正弦量的有效值，有向线段与实轴的夹角表示正弦量的初相。此图叫相量图，如右图所示，图中画出了表示电压相量和电流相量的相量图。在相量图上能够清晰的看出各相同频率正弦量的大小和相位关系，例如，图中电压u超前电流i的相位角为（ψu-ψi）。§6-2《电路分析简明教程》例1已知电压u=5cos（1000t