第9-12周作业答案_918807116

11.9两个同心均匀带电球面,半径分别为R1、R2.已知外球面电荷面密度为+,rR2处E0.求：(1)内球面电荷面密度1(2)两球面之间r处电场E(3)rR1处E解：(1)此为球对称场.由rR2处E0和高斯定理,两球面上总电量=01=(R2/R1)2(2)R2rR1时E=Qr/(40r3)=R22r/(0r3)(3)rR1时,E=01.11H核外电荷体密度=ea13e21ra/a1=5.291011m求：(1)核外总电量q(2)r处电场E解；(1)q=dV=ea130e21ra/4r2dr=e(2)核外电荷为球对称分布,核外电荷r处电场等于半径为r的球体内电荷(设为q内)集中在原点的点电荷的电场.此外原点处还有核电荷+eq总=q内+eE=q总r/(40r3)=er(2r2/a12+2r/a1+1)e21ra//(40r3)1.15AO=OB=l=半径,q0.(1)把单位正电荷从O沿圆弧OCD到D点,求电场力对其做功;(2)把单位负电荷从D沿AD延长线移到无限远,求电场力对其做功.解:(1)–q对正电荷的作用力与位移垂直,作功为零静电场力做功与路程无关,所以q对正电荷做功等于从O直接到D做功W=Fdr=ll3qdr/(40r2)=q/(60l)(2)W=-l3qdr/(40r2)+lqdr/(40r2)=-q/(120l)+q/(40l)=q/(60l)说明:只要是将单位负电荷从O移到无限远,电场力对其做功都是q/(60l),与具体过程无关.1.19长直共轴内外圆筒,半径为a、b,其上电荷均布线密度为、.求：(1)U分布(2)内外圆筒的U解：(1)由场的对称性E=Er(柱坐标r,,z)由高斯定理rb时E=0,该区域与等电势U=0bra时E=Er=/(20r)U(r)=rbErdr=(20l)-1ln(b/r)ar时E=0U(r)=U(a)=(20)1ln(b/a)(2)U=U(a)U(b)=U(a)=(20)1ln(b/a)1.20设H原子基态时核外电荷为球对称分布，电荷密度为(r)=-qe-2r/a/(a3),其中q为电子电量(大小)、a为波尔半径。求：(1)核外电荷产生的电场电位；(2)全部电荷产生的电场电位。解：建立如图坐标，取核为原点O.核为质子，电量q.(1)取dv’=r’2sin’dr’d’d’U(核外电荷)=(r’)dV’/(40)=04120(r’)d’r’2dr’0sin’d’/(r’2+r2-2r’rcos’)1/2=021(r’)r’2dr’[(r’2+r2-2r’rcos’)1/2/r’r]0=021(r’)r’2[(r’+r)-r’-r]dr’/r’r-qABODCqll’dV’r'rzOqP2=01[r0(r’)r’2dr’/r+r0(r’)r’dr’]=-30aq{-ra43[(2r2/a2+2r/a+1)e-2r/a-1]+42a(2r/a+1)e-2r/a}=04q[(1/a+1/r)e-2r/a-1/r](2)U=U(核外电荷)+U(核电荷)=U(核外电荷)+q/(40r)=04q(1/a+1/r)e-2r/a说明：还可以先由高斯定理计算出电场强度E，然后按定义计算电位U2.2如图，半径为R1的导体球,球外为同心导体球壳.已知内球电位为零,球壳带电Q.求内球电量和球壳电位.解:设内球电量为q.则球壳内面电荷为-q、球壳外面电荷为(Q+q)于是内球电位为U球=(Q+q)(40R3)-q/(40R2)+q/(40R1)=0Q/R3=q(1/R2-1/R1-1/R3)=0q=R1R2Q/(R1R3-R2R3-R1R2)球壳电位为U壳=q/(40R3)-q/(40R3)+(Q+q)(40R3)=(Q+q)(40R3)=(R1-R2)Q/[40(R1R3-R2R3-R1R2)]说明:上面多次应用均匀带电球面(q,R)的电位关系U球面内=U球面=q/(40R)U球面外(r)=q/(40r)2.5半径为R的中性金属球A内有两个球形空腔B和C.q1、q2位于B、C的中心.OP=rR.求：作用在A、q1、q2、q上静电力解：设B、C空腔表面均匀带电-q1、q2,使q1、q1在B腔外的电场为零以及q2、q2在C腔外的电场为零.于是A球表面带电(q1+q2),这些电荷在表面上不均匀分布,与q共同作用使整个球内电场为零。这样所有电荷的在金属内部的总电场为零，由唯一性定理,上述假设电荷分布即为真正分布。q1、q2处外电场为零,受力Fq1=Fq2=0由于rRA表面电荷可看作集中在o处的点电荷，即近似A球表面带电(q1+q2)在表面上不均匀分布FA=Fq=q(q1+q2)r/(40r3)沿其连线为斥力2.9三个共轴金属圆筒，长度都是l,半径分别为a、b、c,里外两筒用导线连接为一极,中间筒为另一极.略去边缘效应,(1)求电容C(2)若l=10cm,a=3.9mm,b=4.0mm,c=4.1mm求C解；设单位长度上里外筒各带电量中间筒带电-2,电荷在圆筒表面均匀分布,满足金属内部电场为零的条件里、中间筒之间E1(r)=/(20r)沿径向向外U1=(20)1ln(b/a)则里、中间筒构成的电容C1=l/U1=20l/ln(b/a)类似外、中间筒构成的电容C2=20l/ln(c/b)总电容C=C1+C2=20l[ln(b/a)+ln(c/b)]/[ln(b/a)ln(c/b)]=20lln(c/a)/[ln(b/a)ln(c/b)]代入数值得：C=4.451010F=4.45102pF2.28长直导线半径为a，线电荷密度为,产生的电位U(r)=lnr/20+常数.ba.求:导线与导体平面系统单位长度电容.解：ba按题义导线电荷分布不受导体影响均匀分布，电位分布如题中所给.导线的镜像为,两根导线使导体表面电位为零则:导线与导体间电场为E=r(20r)1[r1+(2br)1]导线与导体间电位差为q1ACBRoqrPq2QOR1R2R3q3U=abEdr=(20)1ab[r1+(2br)1]dr==(20)1lnba2bab(20)1ln(2b/a)单位长度电容c=/U=20/ln(2b/a)补2.2均匀带电球体，半径a,带电q.求；左右两半球间斥力解；由对称性合力沿z轴.设电荷体密度=3q/(4r3)则：E=r/30F=Fz=EcosdV=2(30)10ar3dr02d02/sincosd=2a4/120=3q2/(640a2)2.10100c和1atm下,饱和水蒸气=598g/m3.H2O偶极矩p=6.21030Cm.求此时水蒸气的最大电极化强度.解：水分子偶极矩全部排列整齐时其电极化强度P最大.最大P即为单位体积内所有水分子偶极矩之和Pmax=np=NAp/18=1.24104Cm其中n为粒子数密度，NA=6.0231023/mol为阿佛伽德罗常数3.2求：(1)每对电荷的W互(2)整个系统的W互解：(1)每对电荷的互能:W12=q2/=W23W23=q2/(80a)(2)1处电势U1=(40)1(2q/aq/2a)=3q/(80a)=U32处电势U2=(40)12(q/a)=q/(20a)W互=12[q23q/(80a)+2q(q)/(20a)]=7q2/(80a)3.4设电子为球形,半径r,静质量m,静能mc2.分别计算电子电荷均匀分布在球面上和球体内的半径r.计算电子经典半径r0=e2/(40mc2)解：设电子的全部能量都是电场能,即:We=mc2(1)设电荷均匀分布在球面上,E内=0E外=er/(40r3)We=120E2dV=120e2(40)2r14r4r2dr=e2/(80r)=mc2则r=e2/(80mc2)(2)设电荷均匀分布在球内,E内=r/30E外=er/(40r3)We=120E2dV=120[0rE内24r2dr+rE外24r2dr]=e2/(400r)+e2/(80r)=3e2/(200r)=mc2则：r=3e2/(200mc2)其中=3e/(4r3)(3)代入数值r0=e2/(40mc2)=2.8110-15m3.5同心导体球和导体球壳如图.球壳中性,导体球带电q=3.0108C,r1=5.0cm,r2=4.0cm,r3=2.0cm.求:(1)系统电能We(2)若用导线将球、球壳连起,求We解：(1)球壳电势U壳=q/(40r1)brzaa321a-q2qqqqqr3r2r14球电势U球=q(40)1(r11r21+r31)We=12(q壳U壳+q球U球)=12qU球=q2(80)1(r11r21+r31)=1.8104J(q壳=0,q球=q)(2)导线将球、球壳连起后,q分布在r1球面上,U壳不变We=12qU壳=q2/(80r1)=8.110-5J3.8半径为a的长直导线和内半径为b的导体圆筒构成圆柱形电容器.证明:电容器存储能量的一半在半径为r=(ab)1/2的圆柱内解:设电容器长h、带电q电容器电容C=20h/ln(b/a)电容器储能W=q2/2C=q2ln(b/a)/(40h)电能密度we=0E2/2=q2/(820r2h2)a－r圆柱内的电场能为W’=wedV=rawe2rhdr=q2ln(r/a)/(40h)将r=(ab)1/2代入得W’=q2ln(b/a)/(80h)=W/2证毕3.10球形电容器如图,求:二球壳各自的自能、二球壳之间的互能、系统的总能量.解:带电体的自能是该带电体单独存在时的电能.内、外球壳作为导体,其自能分别为W内自=W(Q)=QU内(Q)/2=Q2/(80R1)W外自=W(-Q)=-QU外(-Q)/2=Q2/(80R2)W互=QU内(-Q)/2+(-Q)U外(Q)/2=-Q2/(80R2)-Q2/(80R2)=-Q2/(40R2)W总=W电容器=Q2/2C=Q2(1/R1-1/R2)(80)=Q2(R2-R1)/(80R1R2)=W内自+W外自+W互2.12平行板电容器S=2.0m2,d=5.0mm.电压U=104V.去掉电源，充入电介质.d1=2.0mm,d2=3.0mm,r1=5.0,r2=2.0.求:(1)P1,P2(2)负极接地,求U+,UA解:无介质时电容C0=0S/d有、无介质不影响自由电荷面密度0=Q0/S=C0U/S=0U/d(1)在两介质中分别为匀强电场,E极板D也匀强且极板,由D的高斯定理D=0(两介质中相同)baq-qOR1QR2-QSE1DAE2d2d1d5P1=1D/r1=(r11)/r1=(r11)0U/r1d=1.42105C/m2P2=(r21)0U/r2d=8.8510-6C/m2(2)E1=D/0r1=/0r1=U/r1dE2=U/r2dUA=E2d2=Ud2/r2d=3.0103VU+=E1d1+E2d2=Ud1/r1d+Ud2/r2d=3.8103V注：本题也属于D=D0情况2.14圆柱电容器,内为直导线，外为导体圆筒,中间电介质.求：(1)介质中E、D、P、’、’(2)U(3)电容C解：(1)D具有柱对称性