九年级数学三角函数全章知识点整理

初中三角函数整理复习一．三角函数定义。siaA=斜边的对边A,cosA=斜边的邻边A,tanA=的邻边的对边AA二、特殊角的三角函数：sia30°、cos45°、tan60°归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA练习：求下列各式的值（1）sia30°+cos30°（2）2sia45°-21cos30°(3)004530cossia+ta60°-tan30°三．解直角三角形主要依据(1)勾股定理：a2+b2=c2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边AA例题评析：例1、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2，a=6，解这个三角形．例2、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=20B=350，解这个三角形（精确到0.1）．斜边的邻边AAcos斜边的对边AAsin例3、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．例4、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。四．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．例1如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)解：在Rt△ABC中sinB=ABACAB=BACsin=2843.01200=4221(米)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．巩固练习：1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)3如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？．作业练习：1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．2．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．例1、如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．PAB650340答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？用三角函数等知识解决问题．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。五、坡度与坡角图6-34，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝lh，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．练习：(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______：______，坡角______度．答：(1)如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为tan＝BCAB，AB不变，tan随BC增大而减小(2)与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα也随之增大，因为tan=BCAB不变时，tan随AB的增大而增大例题：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tan＝31≈0.3333，查表得α≈18°26′答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．巩固练习：利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．分析：1．将实际问题转化为数学问题．2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？3．土方数=S·l∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．∵等腰梯形ABCD，∴FD=AE=0.9(米)．∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．总土方数=截面积×渠长=0.8×100=80(米3)．答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．