第2讲《参数方程》单元检测卷(含答案解析)

数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！【金版学案】2015-2016学年高中数学第二讲参数方程单元检测卷新人教A版选修4-4(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心1．D2．经过点M(1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M到动点P的位移(t为参数)的参数方程()A.x＝1＋12t，y＝5－32tB.x＝1－12t，y＝5＋32tC.x＝1－12t，y＝5－32tD.x＝1＋12t，y＝5＋32t2.D3．直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上到点A(－2，3)的距离等于2的点的坐标是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－4，5)或(0，1)D．(－3，4)或(－1，2)3.D数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！．P是椭圆x＝23cosα，y＝4sinα(α为参数)上一点，且在第一象限，OP(O为原点)的倾斜角为π6，则点P的坐标为()A．(2，3)B.4155，455C．(23，3)D．(4，3)4.B5．参数方程x＝t＋1t，y＝－2(t为参数)所表示的曲线是()A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线5.B6．与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程(t，φ，θ为参数)是()A.x＝sint，y＝cos2tB.x＝tanφ，y＝1－tan2φC.x＝1－t，y＝tD.x＝cosθ，y＝sin2θ6.B7．直线x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)与圆x＝4＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)相切，则直线的倾斜角α为()A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D．－π6或－5π67.A8．已知动圆：x2＋y2－2axcosθ－2bysinθ＝0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数)，则圆心的轨迹是()A．直线B．圆C．抛物线的一部分D．椭圆8.D数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！．A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为()A．33B．43C.433D.8339.C10．已知过曲线x＝3cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO，倾斜角为π4，则点P的极坐标为()A.3，π4B.1225，π4C.－125，π4D.322，π410.B11．已知直线l：x＝3t，y＝2－t(t为参数)和抛物线C：y2＝2x，l与C分别交于点P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是()A．4＋3B．2(2＋3)C．4(2＋3)D．8＋311．解析：把直线参数方程化为x＝－32t′，y＝2＋12t′(t′为参数)代入y2＝2x求得t′1＋t′2＝－4(2＋3)，t′1t′2＝16＞0，知t1，t2均小于零，则|AP1|＋|AP2|＝|t′1|＋t′2|＝|t′1＋t′2|＝4(2＋3)．答案：C12．过抛物线x＝2t2，y＝3t(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为()A.π3B.π3或2π3C.π6D.π6或5π6数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！．解析：将抛物线的参数方程化成普通方程为y2＝32x，它的焦点为38，0.设弦所在直线的方程为y＝kx－38，由y2＝32x，y＝kx－38消去y得64k2x2－48(k2＋2)x＋9k2＝0，设弦的两个端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝34·k2＋2k22－916＝21＋k2，解得k＝±3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·汕头市高三质量检测，文数)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为x＝t＋3y＝3－t(参数t∈R)，圆的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ＋1(参数θ∈[0，2π))，则圆心到直线l的距离为________．13.52214．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角α的弦，若弦长不超过8，则α的取值范围是________．14.π4，3π415．直线l过点M0(1，5)，倾斜角是π3，且与直线x－y－23＝0交于M，则|MM0|的长为________．15．10＋6316．曲线x＝asecα，y＝btanα(α为参数)与曲线x＝atanβ，y＝bsecβ(β为参数)的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为________．16．22三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！(1)x＝5cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)；(2)x＝1－3t，y＝4t(t为参数)．17．解析：(1)∵x＝5cosφ，y＝4sinφ，∴x5＝cosφ，y4＝sinφ，两边平方相加，得x225＋y216＝cos2φ＋sin2φ，即x225＋y216＝1.∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆．(2)∵x＝1－3t，y＝4t，∴由t＝y4代入x＝1－3t，得x＝1－3·y4，∴4x＋3y－4＝0.∴它表示过0，43和(1，0)的一条直线．18．(本小题满分12分)利用直线的参数方程，求直线l：4x－y－4＝0与l1：x－2y－2＝0及l2：4x＋3y－12＝0所得两交点间的距离．18．解析：在l上任取一点(0，－4)，得l的参数方程为x＝117t，y＝417t－4，将这一参数方程分别代入l1和l2，即可求出两交点的参数值分别为t1＝6177和t2＝3172.根据直线参数方程的几何意义，两交点间的距离为：|t1－t2|＝6177－3172＝91714.即两交点间距离为91714.19．(本小题满分14分)过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！．解析：设直线为x＝102＋tcosαy＝tsinα(t为参数)，代入曲线并整理得(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋32＝0，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝321＋sin2α.∴当sin2α＝1时，即α＝π2，|PM|·|PN|取最小值为34，此时α＝π2.20．(本小题满分14分)求直线x＝2＋t，y＝3t(t为参数)被双曲线x2－y2＝1上截得的弦长．20．解析：把直线参数方程化为标准参数方程x＝2＋12t，y＝32t(t为参数)，带入x2－y2＝1，得：2＋12t2－32t2＝1.整理，得t2－4t－6＝0.设其两根为t1、t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝42－4×（－6）＝40＝210.21．(本小题满分14分)如下图所示，有一抛物线，A为抛物线的顶点，PP′为抛物线的任意一弦，设PP′交抛物线的对称轴于Q，过P、P′分别作对称轴的垂线交对称轴于M、M′.求证：|AM|·|AM′|＝|AQ|2.21．证明：曲线方程为y2＝4ax，其参数方程为x＝at2，y＝2at.设P、P′的坐标分别为(at21，2at1)、(at22，2at2)，则弦PP′所在直线的方程是数学备课大师【全免费】备课大师全科【9门】：免注册，不收费！－2at1＝2at1－2at2at21－at22(x－at21)＝2t1＋t2(x－at21)，即(t1＋t2)y－2x＝2at1t2.由此得PP′与抛物线的对称轴的交点Q的坐标是(－at1t2，0)．也就是说|AQ|2＝a2t21t22.∴|AM|·|AM′|＝at21at22＝|AQ|2.22．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)．M是C1上的动点，点P满足OP＝2OM，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1和异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求||AB.22．解析：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于点M在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.