第十章排列组合和二项式定理(第4课)排列

高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第4课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第1页（共5页）课题：10奎屯王新敞新疆2排列(二)教学目的：1奎屯王新敞新疆进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题奎屯王新敞新疆教学重点：排列数公式的应用奎屯王新敞新疆教学难点：排列数公式的应用奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第4课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第2页（共5页）2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm种不同的方法奎屯王新敞新疆3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．奎屯王新敞新疆说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同奎屯王新敞新疆4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示奎屯王新敞新疆注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数奎屯王新敞新疆所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列奎屯王新敞新疆5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列奎屯王新敞新疆全排列数：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321nnAnnn；把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆表示：!n，即nnA!n奎屯王新敞新疆规定0!1．2．排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm(1)(2)(1)()321()(1)321nnnnmnmnmnm!()!nnm高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第4课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第3页（共5页）即mnA=!()!nnm奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．计算：①66248108!AAA；②11(1)!()!nmmAmn．解：①原式876543216543218710987=5765432513056(89)623；②原式(1)!1(1)!()!()!mmmnmn．例2．解方程：3322126xxxAAA．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)xxxxxxx，∵3x，∴3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100xx，解得5x或23x，∵3x，且xN，∴原方程的解为5x．例3．解不等式：2996xxAA．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!xx，也就是16(9)!(11)(10)(9)!xxxx，化简得：2211040xx，解得8x或13x，又∵29x，且xN，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7．例4．求证：（1）nmnmnnnmAAA；（2）(2)!135(21)2!nnnn．高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第4课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第4页（共5页）证明：（1）!()!!()!mnmnnmnAAnmnnmnnA，∴原式成立奎屯王新敞新疆（2）(2)!2(21)(22)43212!2!nnnnnnnn2(1)21(21)(23)312!nnnnnnn!13(23)(21)!nnnn135(21)n右边∴原式成立奎屯王新敞新疆说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA中，,mnN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)mnAnnnnm常用来求值，特别是,mn均为已知时，公式mnA=!()!nnm，常用来证明或化简奎屯王新敞新疆例5．化简：⑴12312!3!4!!nn；⑵11!22!33!!nn奎屯王新敞新疆⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!nn11!n⑵提示：由1!1!!!nnnnnn，得!1!!nnnn，原式1!1n奎屯王新敞新疆说明：111!(1)!!nnnn．四、课堂练习：1．若!3!nx，则x（）()A3nA()B3nnA()C3nA()D33nA2．与37107AA不等的是（）高中数学教案第十章排列组合和二项式定理（第4课时）王新敞新疆奎屯市第一高级中学第5页（共5页）()A910A()B8881A()C9910A()D1010A3．若532mmAA，则m的值为（）()A5()B3()C6()D74．计算：5699610239!AAA；11(1)!()!nmmAmn．5．若11(1)!242mmmA，则m的解集是．6．（1）已知101095mA，那么m；（2）已知9!362880，那么79A=；（3）已知256nA，那么n；（4）已知2247nnAA，那么n．7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？答案：1.B2.B3.A4.1,15.2,3,4,5,66.(1)6(2)181440(3)8(4)77.16808.24奎屯王新敞新疆五、小结：排列数公式的两种形式及其应用奎屯王新敞新疆六、课后作业：奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：奎屯王新敞新疆