第四章向量组的线性相关性测试题

第四章向量组的线性相关性测试题一、选择题1．下列向量组线性无关的是（）。A.(1,-1,0,2)，(0,1,-1,1)，(0,0,0,0)；B.(a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,a)，(d,a,b)；C.(a,1,b,0,0)，(c,0,d,1,0)，(e,0,f,0,1)；D.(1,2,1,5)，(1,2,1,6)，(1,2,3,7)，(0,0,0,1)。2．设向量组1234,,,线性无关，则下列向量组线性无关的是（）。A.12233441,,,;B.12233441,,,;C.12233441,,,;D.12233441,,,.3．设向量组可由向量组12,,,m线性表示，但不能由向量组(I)：121,,,m线性表示，记向量组(II):121,,,,m，则()。A.m不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示；B.m不能由(I)线性表示，但能由(II)线性表示；C.m能由(I)线性表示，也能由(II)线性表示；D.m能由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示。4.设向量组(I)：12,,,r可由向量组(II)：12,,,s线性表示，则（）。A.当rs时，向量组(II)必线性相关；B.当rs时，向量组(II)必线性相关；C.当rs时，向量组(I)必线性相关；D.当rs时，向量组(I)必线性相关。5.下列向量组中，线性无关的是（）。A.(1,2,3,4)，(4,3,2,1)，(0,0,0,0)；B.(a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,e)，(d,e,f)；C.(a,1,b,0,0)，(c,0,d,2,3)，(e,4,5,5,6)；D.(a,1,2,3)，(b,1,2,3)，(c,4,2,3)，(d,0,0,0)。6．向量组123,,线性无关，向量1可由123,,线性表示，而向量2不能由123,,线性表示，则对于任意常数k，必有（）。A.12312,,,k线性无关；B.12312,,,k线性相关；C.12312,,,k线性无关；D.12312,,,k线性相关。7．设12,,,m是n维向量组，下列命题中正确的是（）。A.如m不能由121,,,m线性表示，则12,,,m线性无关；B.如12,,,m线性相关，m不能由121,,,m线性表示，则121,,,m线性相关；C.如12,,,m中，任意m-1个向量都线性无关，则12,,,m线性无关；D.零向量不能由12,,,m线性表示。8．设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则当mn时，方阵AB的秩（）。A.大于m；B.等于m；C.小于m；D.不小于m。9．设123,,为3R的一组基，则下列向量组中仍为3R的一组基的是（）。A.1232123,2,；B.122313,,；C.122313,,22；D.1312123,,2。10．设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则()。A.当nm时，AB的行向量组线性无关；B.当nm时，AB的列向量组线性相关；C.当mn时，AB的行向量组线性无关；D.当mn时，AB的列向量组线性相关。11．设123,,是向量空间3R的一组标准正交基，下列向量组中仍是3R的一组标准正交基的是（）。A.122331,,；B.122331,,；C.122212221123123123333333333,,；D.111111122331222222,,。12．向量组123,,与向量组123,,等价的充分必要条件是（）。A.123123(,,)(,,)rr；B.123123123(,,)(,,,,,)rr；C.123123123(,,)(,,,,,)rr；D.123123123123(,,)(,,)(,,,,,)rrr。13.设A为mn矩阵，B为nm矩阵，AB为可逆矩阵，且mn，则下列结论正确的是（）。A.A的行向量组线性相关；B.A的列向量组线性无关；C.B的行向量组线性无关；D.B的列向量组线性无关；二、填空题1．设123(3,5,6),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)TTTT，则将向量表示成123,,的线性组合，为.2．判断下述向量组的线性相关性：（1）123(1,1,1),(1,2,3),(1,6,3)TTT，123,,是线性.（2）123(1,2,3),(1,4,1),(1,14,7)TTT，123,,是线性.3．设112223334441,,,baabaabaabaa，则向量组1234,,,bbbb线性.4．设123(1,1,0),(1,1,1),(2,,)TTTab，则当a时，123,,线性无关.5．矩阵11221021512031311041列向量组的一个最大无关组是，及秩为.6．设向量组B能由向量组A线性表示，则()RA与()RB一定满足.7．设A是43的矩阵，()2RA，102020103B，则()RAB.8．已知向量组1234,,,线性无关，则（1）向量组12233441,,,aaaaaaaa线性，（2）向量组12233441,,,aaaaaaaa线性.9．11211(,,),,,0TnnnVxxxxxxRxx，问1V是不是向量空间？10．2V=1211(,,),,,1TnnnxxxxxxRxx，问2V是不是向量空间？11．1(1,1,0)，2(1,0,1)，3(0,1,1)是一组基，则(2,0,0)u在这组基下的坐标是。12.（1）若12,是AX=0的解，则12ab是的解。（2）若12,是AX=b的解，则1212()是的解；12是的解。13.从2R的基1211,,01到基1211,12的过渡矩阵为。14.Ａ，Ｂ均为mn矩阵，且齐次线性方程组0Ax的解均为0Bx的解，则R(A)与R(B)一定满足R(A)R(B)。三、计算题1.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大线性无关组线性表示：1231,2,1,3,4,1,5,6,1,3,4,7TTT。2.求1234123412342320354_20876_30xxxxxxxxxxxx的基础解系及通解。3.求1234123412345231153612426xxxxxxxxxxxx的一个特解及对应齐次方程的基础解系，并求其通解。4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为３，已知123,,是它的三个解向量，且1(2,3,4,5)T，23(1,2,3,4)T，求其通解。5.已知4阶方阵1234,,,A，1234,,,均为4维列向量，其中234,,线性无关，且1232，如果1234，求线性方程组Ax的通解。四、证明题1.设1121212,,,rrbabaabaa，且向量组12,,,raa线性无关，证明向量组12,,,rbbb线性无关。2.设Ａ，Ｂ都是n阶矩阵，且ＡＢ＝０。证明RARBn。3.设A是n阶方阵Ａ的伴随矩阵，证明,1101nRAnRARAnRAn，，。4.设A是mn矩阵，B是nm矩阵，且mn，证明0AB。选择题题号12345678910111213答案CDBDCABCBDCDD