第三章多维随机变量及其分布测试题答案

第三章多维随机变量及其分布答案一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,AxyxyxyFxy其他,则A=_____1____．2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x1《xx2,y1yy2]内的概率为________(,)(,)(,)(,)22211112FxyFxyFxyFxy．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则，应满足的条件是13;当29，19时X与Y相互独立．),YX（（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P1/61/91/181/34．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyxxyfxy其他,则(1)PXY__6572____.5．设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为23,02(,)80,xxfxy其他，设A=（Xb）与B=（Yb）相互独立，且3()4PAB,则b=___34__.6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__31ln444.7．设X和Y为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77PXYPXPY,则(max{,}0)PXY_57.8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)XYN,则D(3X-2Y)=_13.9．设()25,()36,0.4XYDXDY,则()DXY85，()DXY37.10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,ZaXYEXEYDXDY0.5XY,则min()EZ108.二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（B）.A..,0,8.0,1),(其他yxyxFB..,0,0,0,),(00其他yxdsdteyxFyxtsC.yxtsdsdteyxF),(D..,0,0,0,),(其他yxeyxFyx2．设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,xyye围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为（C）．A．12B．13C．14D．123．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（B）．A．随机变量X,Y都服从一维均匀分布B．随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布C．随机变量X,Y一定都服从一维均匀分布D．随机变量X+Y服从一维均匀分布4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（A）．A．X与Y不相关B．(,)()()XYFxyFxFyYC．X与Y相互独立D．1XY5．在[0,]上均匀地任取两数X和Y，则{cos()0}PXY（D）．A．1B．12C．23D．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),abPXkPYkkXYkk与相互独立.(1)确定a,b的值；(2)求(X,Y)的联合分布列；(3)求X-Y的概率分布.解：(1)由正则性()1kPXk有，612311aaaa()1kPYk有，3614949bbbb(2)(X,Y)的联合分布律为X-3-2-1124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/539(3)X-Y的概率分布为X-Y-2-1012P24/53966/539251/539126/53972/5392.设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,xykexypxy其他(1)确定常数k；(2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)PXY.解：（1）∵0(34)01xykedxdy∴400011433()()430||112yyxxedxkeedykke∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200yxyxuvFxyedudvee43(1)(1)0,0yxeexy∴34(1)(1),0,00,(,)xyeexyFxy其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)PXYFFFF38(1)(1)ee3．设随机变量X,Y相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0xXexpxx，131,0()30,0xYeypyy，求Z=X+Y的密度函数解：Z=X+Y的密度函数()()()ZXYpzpxpzxdx∵()Xpx在x≥0时有非零值，()Ypzx在z-x≥0即x≤z时有非零值∴()()XYpxpzx在0≤x≤z时有非零值336362000111()[]|236zzzxzxzxxzZpzeedxeedxee36(1)zzee当z0时，()0Zpz所以Z=X+Y的密度函数为36(1),0()0,0zzZeezpzz4．设随机变量X,Y的联合密度函数为3412,0,0(,)0,xyexypxy其他，分别求下列概率密度函数.(1){,}MMaxXY;(2){,}NMinXY.解：（1）因为3430()(,)123xyxXpxpxydyedye3440()(,)124xyyYpypxydxedye所以(,)()()XYpxypxpy即X与Y独立.所以当z0时，()0MFz当z≥0时，()()(,)()()MFzPMzPXzYzPXzPYz34()()(1)(1)zzXYFzFzee所以34430,0()3(1)4(1),0Mzzzzzpzeeeez3470,0347,0zzzzeeez(2)当z0时，()0NFz当z≥0时，()()(,)1()()NFzPNzPXzYzPXzPYz7ze所以70,0()7,0Mzzpzez3470,0347,0zzzzeeez5．设随机变量X,Y相互独立,其密度函数分别为2,01()0,Xxxpx其他，(5),5()0,yYeypy其他，求XY.解：因为X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0所以0XY6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,xxyxpxy其他，求X和Y的边际密度函数.解：20()(,)33,01xXpxpxydyxdyxx1223()(,)3(1),012Yypypxydxxdxyxy四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X与Y不相关，但X与Y不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0.5+1×0.25=0所以E(XY)=E(X)E(Y)即X与Y不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375P(X=1,Y=1)≠P(X=1)P(Y=1)所以X与Y不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)EXEYDXDYCovXY,证明222(max{,})11EXY.证明：因为()()0,()()1,(,)EXEYDXDYCovXY所以2222()()()1,()()()1EXDXEXEYDYEY()(,)()()EXYCovXYEXEY2222221max(,)[||]2XYXYXY因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22EXYEXEYEXYEXY由柯西施瓦兹不等式有222()()()EXYEXEY所以22222211(max(,))1(||)1(||)(||)22EXYEXYEXYEXY又因为22222(||)(2)()()2()22EXYEXYXYEXEYEXY22222(||)(2)()()2()22EXYEXYXYEXEYEXY所以2221(max(,))1(22)(22)112EXY3．设二维随机变量),YX（的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xyxypxy其他证明X与Y不独立，而2X与2Y相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142Xpxpxydyxydyx1111()(,)(1),1142Ypypxydxxydxy所以(,)()()XYpxypxpy即X与Y不独立．设22,UXVY则22(,)(,)(,)FuvPXuYvPuXuvYv所以当0,0(,)0uvFuv时，；当111111,1(,)(1)14uvFuvxydxdy时，；当1111,01(,)(1)4vvuvFuvxydxdyv时，；当11101,1(,)(1)4uuuvFuvxydxdyu时，；当101,01(,)(1)4uvuvuvFuvxydxdyuv时，；所以,1,01,01,1(,),01,011,1,10,0,0vuvuuvFuvuvuvuvuv所以0,(,)1,01,014puvuvuv其他所以1011(),0142Upudvvuvu1011(),0142Vpvduuuvv故()()(,)UVpupvpuv所以U与V独立，即2X与2Y相互独立．