第三章导数及其应用章末综合检测(人教A版选修1-1)

综合检测(三)第三章导数及其应用(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设质点M按规律s＝3t2＋5做直线运动，则质点M()A．在t＝1时的瞬时速度为11B．在t＝2时的瞬时速度为12C．在t＝3时的瞬时速度为13D．在t＝4时的瞬时速度为17【解析】瞬时速度v＝s′＝6t，当t＝2时，s′(2)＝12【答案】B2．(2013·临沂高二检测)已知p：函数y＝f(x)的导函数是常函数；q：函数y＝f(x)是一次函数，则p是q的()条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解析】pq，因为当f(x)是常函数时，其导函数也为常函数；q⇒p，故p是q的必要不充分条件．【答案】B3．函数y＝x2cosx的导数为()A．y′＝2xcosx－x2sinxB．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinxD．y′＝xcosx－x2sinx【解析】f′(x)＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.【答案】A4．函数y＝3x－x3的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(1，＋∞)【解析】y′＝3－3x2，令y′＞0得x∈(－1,1)【答案】C5．(2013·济宁高二检测)若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,0)D．(－1,0)【解析】f′(x)＝4x3－1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝4x30－1＝3.∴x0＝1，y0＝f(1)＝1－1＝0，∴点P的坐标为(1,0)．【答案】C6．(2013·烟台高二检测)三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是()A．m＜0B．m＜1C．m≤0D．m≤1【解析】f′(x)＝3mx2－1，由题意f′(x)≤0在R上恒成立，所以m＜0Δ＝12m≤0，∴m＜0.【答案】A7．已知函数f(x)在定义域R上是增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)的单调情况一定是()A．在(－∞，0)上递增B．在(－∞，0)上递减C．在R上递减D．在R上递增【解析】g′(x)＝2x·f(x)＋x2f′(x)，由于f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＞0，又f(x)＜0，∴当x＜0时，g′(x)＞0.∴g(x)在(－∞，0)上递增．【答案】A8．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x＜0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【解析】f′(x)＝2－1x2＝2x2－1x2，方程f′(x)＝0在x＜0内有解，当x＝－22时，f′(x)＝0，当x＜－22时，f′(x)＞0；当－22＜x＜0时，f′(x)＜0；故f(x)在x＝－22时有极大值，也是最大值．【答案】A9．(2013·天津高二检测)下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)的值为()(1)(2)(3)图1A.13B．－13C.73D．－13或53【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其图象开口向上，故不是图(1)，在图(2)中，a＝0，f′(x)＝x2－1，但已知a≠0，故f′(x)的图象应为图(3)，∴f′(0)＝0，∴a＝±1，又其对称轴在y轴右侧，故a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，∴f(－1)＝－13.【答案】B10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23000，因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值也是最大值．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝ex·cosx，x∈[0,2π]，若f′(x)＝0，则x＝________.【解析】f′(x)＝ex(－sinx)＋excosx＝ex(cosx－sinx)，令f′(x)＝0得cosx－sinx＝0，∴cosx＝sinx.∴x＝π4或54π.【答案】π4或54π12．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝________.【解析】∵f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，∴f′(1)＝3－2f′(1)＋2，∴f′(1)＝53.因此f′(2)＝12－4f′(1)＋2＝223.【答案】22313．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0，12]上的最大值是________．【解析】由f(x)＝x＋2cosx，得f′(x)＝1－2sinx，当0≤x≤12时，0≤sinx＜12，∴f′(x)＞0.∴f(x)在[0，12]上是增函数，∴函数f(x)在区间0，12上的最大值f(x)max＝f12＝12＋2cos12.【答案】12＋2cos1214．(2013·济南高二检测)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log319·f(log319)，则a，b，c的大小关系是________．【解析】构造函数g(x)＝xf(x)，则g(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上递减，a＝g(30.3)，b＝g(logπ3)，c＝g(log319)＝g(log39)，∵log39＞30.3＞logπ3＞0，∴c＜a＜b.【答案】c＜a＜b三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足：①在x＝1时有极值；②图象过点(0，－3)，且在该点处的切线与2x＋y＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x＋1)的单调递增区间．【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)＝2ax＋b.由题设可得f′1＝0，f′0＝－2，f0＝－3，即2a＋b＝0，b＝－2，c＝－3.解得a＝1，b＝－2，c＝－3.所以f(x)＝x2－2x－3.(2)g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)2－2(x＋1)－3＝x2－4.令g′(x)＝2x＞0，得x＞0.故g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax2＋2x＋blnx在x＝1和x＝2时取极值．(1)求a，b的值；(2)求在12，2上的最大值和最小值．【解】(1)f′(x)＝2ax＋2＋bx，∴f′(1)＝f′(2)＝0.即2a＋b＋2＝0，4a＋2＋b2＝0，解得a＝－13，b＝－43.(2)由(1)知，f(x)＝－13x2＋2x－43lnx，∵f(x)在x＝1和x＝2时取极值，且f(2)＝83－43ln2，f(1)＝53，又f12＝－112＋1－43ln12＝1112＋43ln2，∴函数f(x)的最小值f(x)min＝f(1)＝53，最大值f(x)max＝f12＝1112＋43ln2.17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝3x2＋4x＋1，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－13.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈(－1，－13)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(－13，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x＝－1时，f(x)取得极大值－4，当x＝－13时，f(x)取得极小值－11227.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3＋(2－a)x2＋4，∵F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴[F(x)]min≥0，x∈[0，＋∞)．若2－a≥0，显然[F(x)]min＝F(0)＝4＞0；若2－a＜0，F′(x)＝3x2＋(4－2a)x，令F′(x)＝0，解得x＝0或x＝2a－43.当0＜x＜2a－43时，F′(x)＜0；当x＞2a－43时，F′(x)＞0，∴当x∈(0，＋∞)时，[F(x)]min＝F(2a－43)≥0，即(2a－43)3＋(2－a)(2a－43)2＋4≥0.解不等式得a≤5，∴2＜a≤5.当x＝0时，F(x)＝4满足题意．综上所述a的取值范围为(－∞，5]．18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．【解】(1)由已知，当a＝2时，f(x)＝2x＋lnx，f′(x)＝2＋1x(x＞0)，f′(1)＝2＋1＝3.故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.(2)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x＞0)．①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－1a.在区间(0，－1a)上，f′(x)＞0，在区间(－1a，＋∞)上f′(x)＜0，所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－1a)，单调递减区间为(－1a，＋∞)．综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，－1a)，单调递减区间为(－1a，＋∞)．(3)由已知，转化为f(x)max＜g(x)max.g(x)max＝2，由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3＞2，故不符合题意．)当a＜0时，f(x)在(0，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f(－1a)＝－1＋ln(1－a)＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－1e3.综上，a的取值范围是a＜－1e3.