第八章0常用统计分布

1第八章常用统计分布第一节超几何分布超几何分布的数学形式·超几何分布的数学期望和方差·超几何分布的近似第二节泊松分布泊松分布的数学形式·泊松分布的性质、数学期望和方差·泊松分布的近似第三节卡方分布(2分布)2分布的数学形式·2分布的性质、数学期望和方差·样本方差的抽样分布第四节F分布F分布的数学形式·F分布的性质、数学期望和方差·F分布的近似一、填空1．对于超几何分布，随着群体的规模逐渐增大，一般当Nn≤（）时，可采用二项分布来近似。2．泊松分布只有一个参数（），只要知道了这个参数的值，泊松分布就确定了。3．卡方分布是一种（）型随机变量的概率分布，它是由（）分布派生出来的。4．如果第一自由度1k或第二自由度2k的F分布没有列在表中，但邻近的第一自由度或第二自由度的F分布已列在表中，对于Fα(1k，2k)的值可以用（）插值法得到。5．（）分布具有一定程度的反对称性。6．（）分布主要用于列联表的检验。7．（）分布用于解决连续体中的孤立事件。8．2分布的图形随着自由度的增加而渐趋（）。9．当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时（）可采用二项分布来近似。10．（）事件是满足泊松分布的。二、单项选择1．已知离散性随机变量x服从参数为λ=2的泊松分布，则概率P（3；λ）＝（）。A4/3e2B3/3e2C4/3e3D3/3e322．当群体的规模逐渐增大，以至于不回置抽样可以作为回置抽样来处理时，（）分布可以用二项分布来近似。At分布BF分布C2分布D超几何分布3．研究连续体中的孤立事件发生次数的分布，如某时间段内电话机被呼叫的次数的概率分布，应选择（）。A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布4．对于一个样本容量n较大及成功事件概率p较小的二项分布，都可以用（）来近似。A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布。5．与Fα（1k，2k）的值等价的是（）。AF1-α（1k，2k）BF1-α（2k，1k）C1/Fα（1k，2k）D1/F1-α（2k，1k）6、只与一个自由度有关的是（）A2分布B超几何分布C泊松分布DF分布三、多项选择1．属于离散性变量概率分布的是（）。A二项分布B超几何分布C泊松分布DF分布2．属于连续性变量的概率分布的是（）。A2分布B超几何分布C泊松分布DF分布3．下列近似计算概率的正确方法是（）。A用二项分布的概率近似计算超几何分布的概率B用二项分布的概率近似计算泊松分布的概率C用泊松分布的概率近似计算超二项分布的概率D用正态分布的概率近似计算超二项分布的概率E用正态分布的概率近似计算F分布的概率4．2分布具有的性质是（）。A恒为正值B非对称性C反对称性D随机变量非负性E可加性5．F分布具有的性质是（）。A恒为正值B非对称性C反对称性D随机变量非负性E可加性6．一般地，用泊松分布近似二项式分布有较好的效果是（）。3An/N≤0.1Bn≥10Cp≤0.1Dk≥30Ek22四、名词解释1．超几何分布2．泊松分布：3．卡方分布4．F分布五、判断题1．在研究对象为小群体时，二项式分布和超几何分布的基本条件都能得到满足。（）2．成功次数的期望值λ是决定泊松分布的关键因素。（）3．泊松分布的数学期望和方差是相等的。（）4．在计算F分布的概率时，只需要知道分子的自由度和分母的自由度两个因素就可以了。（）5．k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布。（）6．卡方分布的随机变量是若干个独立标准正态变量的平方和。（）7．相互独立的两个卡方变量与其自由度的商的比值为F分布的变量。（）8.当群体规模逐渐增大，以致不回置抽样可以作为回置抽样来处理，这时泊松分布可采用二项分布来近似。（）9.泊松分布用于解决连续体中的孤立事件。（）10.F分布具有一定程度的反对称性。（）六、计算题1．某社区要选派8名积极申请参加公益活动的居民从事一项宣传活动。申请者为12名女性居民和8名男性居民。社区宣传活动的组织者把他们的名字完全混合后放在一个盒子里，并从中抽取8个。试问，抽出4名女性居民的概率是多少？2．有16名二年级学生和14名三年级学生选修了社区管理课。假设所有学生都会来教室上课，而且是随机进入教室的。试问，当一名学生进入教室时，恰逢已在教室就坐的5位都是三年级的概率是多少？3．某区进行卫生大检查，现对区内全部40个单位进行卫生合格验收。检查团随机抽查4个单位，只要有1个单位不合格就取消该区的卫生评先资格。如果该区确有10%的单位卫生不合格，试问：（1）抽查的4个单位中有1个单位是不合格单位的概率是多少？（2）经抽查，该区没被取消评先资格的概率是多少？（3）计算分布的期望值和方差。4．设在填写选民证时，1000个选民证中共有300个错字被发现。问在一张选民证上有一个错字的概率是多少？5．某社区对失业者进行某项培训，参加培训的共有100人。根据以前的培训经验，项4目负责人估计有4%的培训者不能掌握这门技术。问在参加培训的100名失业者中至少有5人为未掌握这项技术的概率是多少？6．每小时有30个老人穿过一条人行道。在5分钟内，没有老人穿过该人行道的概率是多少？7．从一正态总体中抽出一个容量为20的样本。已知总体的方差为5。求样本的方差在3.5到7.5之间的概率。8．查表求F0.95(15，7)的值。9．已知Z0.1=1.64。求21.0(1)的值。10．已知F0。01(120．12)＝1．88F0。01(∞，12)＝1．85。求F0。01(150．12)的值。七、问答题1．简述卡方分布的性质。2．简述F分布的性质。5参考答案一、填空1．0．12．λ3．连续，正态4．调和5.F6.27.泊松8.对称9.超几何分布10.稀有二、单项选择1．A2．D3．C4．C5．D6．A三、多项选择1．ABC2．AF3．ACDE4．ABE5．ABC6．BC四、名词解释1．超几何分布超几何分布以样本内的成功事件的个数x为随机变量。若总体单位数为N，其中成功类共有K个，设从中抽取n个为一样本，则样本中成功类个数x的超几何概率分布为P（x）＝H（x：N，n，K）＝nNxnKNxKCCC式中：x≤K，0≤x≤n,0≤K≤N。超几何分布的数学期望μ＝NnK，方差σ2＝)1())((NNKKNnNn2．泊松分布泊松分布为离散型随机变量的概率分布，随机变量为样本内成功事件的次数。若μ为成功次数的期望值，假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过5次的成功概率可忽不计，那么稀有事件出现的次数x的泊松概率分布为P（x）＝P（x；λ）＝exx!泊松分布的期望值和方差均等于它的唯一参数λ。3．卡方分布6设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N(μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布（2分布）的随机变量22（k）＝（1X）2（2X）2…（kX）2＝kiiX122)(1＝kiiZ12其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。2分布的期望值是自由度k，方差值为自由度的2倍。4．F分布F分布是连续型随机变量的另一种重要的小样本分布。设2（1k）和2（2k）相互独立，那么随机变量F（1k，2k）＝222112/)(/)(kkkk服从自由度为(1k，2k)的F分布。其中，分子上的自由度1k叫做第一自由度，分母上的自由度2k叫做第二自由度。五、判断题1．（×）2．（√）3．（√）4．（×）5．（√）6．（√）7．（√）8.（×）9.（√）10.（√）六、计算题1．0.2752．0.01403．解：抽到不合格单位数量x服从N＝40、n＝4的超几何分布（1）K＝1时P（x＝1）＝44033614CCC＝9139071404＝0．3125（2）K＝0时P（x＝0）＝44043604CCC＝91390589051＝0．64457（3）K＝4，N＝40、n＝4μ＝E(x)＝NnK=4044=0.1σ2＝D(x)＝)1())((2NNKKNnNn=)140(404)440()440(42=0.33234．λ＝0.3，P（1；λ）=0.22225．提示：用泊松分布近似二项分布；P（x≥5；λ）=1—P（1；λ）—P（2；λ）—P（3；λ）—P（4；λ）=0.3716．0.08217．≈0.758．0.3699．2.6910．1.874七、问答题1．答：（1）2恒为正值，且022);(dk＝1((2)2分布的期望值是自由度k，方差值为自由度的2倍，即对2（k）有E(2)＝k,D(2)＝2k对k＜2，2分布呈L形。2分布随自由度k的增加而渐趋对称。当k→∞时，2分布以正态分布为极限。2．答：(1)随机变量F和随机变量2一样，恒取正值，F分布密度曲线下总面积亦为1。(2)F分布也是一个连续的非对称分布。当1k≤2时．F分布呈L形；当2k＞2时，F分布则为钟形，当1k→∞时，F分布趋于对称。(3)具有一定程度的反对称性，即F1-α和1／Fα交换，同时1k也和2k交换，这不影响相应的概率:F1-α（1k，2k）＝),(112kkF8