湖南省高中数学教学论文计数原理在四色问题中简单应用的探讨

用心爱心专心-1-计数原理在四色问题中简单应用的探讨计数原理和染色问题均是高考中常考内容，且与染色问题有关的试题内容新颖有趣，数学思想丰富，解题技巧灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力，有利于培养分析和解决问题的能力。常见的解题原则有（1）．根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）．特殊位置或特殊元素优先考虑原则；（3）．分步处理过程中出现矛盾或问题则分类讨论原则；以下针对染色问题的特征分几类情形进行探讨和归纳。（一）平面直线型染色问题【例1】如图，用4种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ABCD解：根据分步计数原理，按ABCD的顺序染色，故N=4X3X3X3=108（种）说明：本题也可以对C与A同色与否，B与D同色与否进行讨论解决，但计算过程复杂，解题不简洁，利用分别计数原理简洁。（二）平面环形染色问题【例2】将例1中四个区域的位置做出如下调整,如下图，相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：根据分步计数原理，按ABCD的顺序进行染色，由于C区域是特殊位置，应进行讨论：(1)当C与A同色时，则1N=4x3x1x3=36;(2)当C与A不同色时，则2N=4x3x2x2=48;所以N=12NN=36+48=84（种）.【变式1】如下图，将一个圆分成4个扇形，每个扇形用4中不同颜色染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：本变式题本质与例2完全相同，故N=84（种）。【变式2】如下图，将一个圆形分成n个扇形（2n），每个扇形用4种不同颜色之一染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：圆被分成n个扇形时：（1）当n=2时，12,AA有2412A种，即212;a（2）当3n时，如图知，1A与2A不同色，2A与3A不同色，，1nA与nA不同色，先将n个区域看作直线型染色问题，则共有143n种染色方法，但由于nA与用心爱心专心-2-1A邻，所以应排除nA与1A同色的情形；而nA与1A同色时，可把nA、1A合并看成一个扇形，与前2n个扇形加在一起为1n个扇形，此时有1na种染色法，故有如下递推关系：1143nnnaa1211243(43)43nnnnnnaaa21321234343434343nnnnnnnaa124[33(1)3](1)33nnnnn说明：有了以上通项公式，可以解决所有扇形染色问题。（三）棱锥型顶点染色问题【例3】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。解法一：根据分步计数原理，按ABCD的顺序染色，先对S、A、B染色，有4x3x2种，由于C点的颜色可能与A相同或不同，这影响到D点的染色方法，故分两类情况讨论：（1）C与A同色，则C方法唯一，D有2种染色法，所以1N=4x3x2x1x2=48种；（2）C与A不同色，则C只有一种颜色可选，D有一种选法，所以2N=4x3x2x1x1=24种；综上：412482472aNN种。解法二：按颜色的种数分类讨论解题（1）若用三种颜色，则A与C同色，B与D同色，所以3314324NCA种；（2）若用四种颜色，则先染P，有14C种，再染A,B有23A种，再染C有12C种，再染D有1种，所以121124321NCACC=48种；所以412482472aNN（种）解法三：将立体问题转化为平面相邻区域染色问题如下图，原问题可以转化为将图中五个区域用4种不同颜色染色，要求相邻区域不同色，求ABCDP用心爱心专心-3-不同的染色方法？其中区域P对应棱锥顶点P。根据分步计数原理，按PABCD顺序染色，由于C位置特殊，故分C与A同色和C与A不同色两类讨论：（1）C与A同色时，则1N=4x3x2x1x2=48种；(2)C与A不同色时，则2N=4x3x2x1x1=24种；所以412482472aNN种。【变式3】如图四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解：将立体图形问题转化为平面区域染色问题，如左图，图中5号区域相当于四棱锥中底面ABCD，其他4个区域相当于四棱锥四个侧面，问题又回到例3的解法三，所以72;N总结：变式题的解题方法体现了数学思想中的化归思想，对培养学生能力有很好的意义。【推广探究】1.将例3中的四棱锥改为五棱锥，其染色方法共有多少？方法1：将五棱锥转化为平面相邻区域染色问题，如图，按PABCDE的顺序问题，讨论C与A同色或C与A不同色，再讨论D与B或D与B不同色，可得5120;a方法2.由题意，平面共有6个区域，用4种颜色，则必有两对区域分别同色，故用枚举法讨论解题即可。例如A与C同色，B与D同色，此时有4424;A共有5种情形；所以4545120aA。2.推广到n棱锥对n棱锥的顶点用4种不同颜色进行染色，要求相邻顶点不同色，求不同的染色方法数。如图，先根据分布计数原理，由121,nnPAAAA共有N=1432n种，但其中包含了“1nnA与A同色”和“1nnA与A不同色”两大类。当1nnA与A同色时，染色总数就是1na，当1nnA与A不同色时，ABCDP53214用心爱心专心-4-染色总数就是na。故有：11432nnnaa可解得：234[2(1)2]2(1)2nnnnna（种）。（四）线段染色问题【例4】：如图，用4种不同颜色给五边形ABCDE每条边染色，要求一条边只染一色，且相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法？解：本题的本质就是环形染色问题，由通项公式(1)33nnna知：N55(1)33240【变式4】如图，用四种不同的颜色给正四面体A-BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一色，且相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法？解：四面体A-BCD中共有三组对棱，AB与CD，AD与BC，BD与AC，共四种颜色，故必有两组对棱组内同色，但组与组之间不同色，所以243472NCA小结：计数原理是排列组合的基础，也是染色问题研究的基础，通过对四色染色问题的简单探讨，我们发现染色问题中分类讨论思想，转化与化归思想等数学思想得到充分应用，所以染色问题是培养学生逻辑思维能力，创新思维能力，空间想象能力和转化能力的很好的平台。