浅谈高等代数的应用

浅谈高等代数的应用马克思曾经说过，一门学科只有成功地应用了数学时才真正的达到了完善的地步。数学在经济学、物理学、化学以及生物学等很多领域都有非常广泛的应用，在学习高等代数的过程中，我发现代数在生活和实践中都有着不可或缺的位置。高等代数的主要学习中心又是矩阵，就如在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为交换这些矩阵的过程。除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵为问题以后却是相同的。故矩阵的地位在代数中是不能比拟的。下面就矩阵在化学方程式的平衡问题、交通流量问题、几何应用等方面来进行讨论。化学方程式的平衡问题在光合作用过程中,植物能利用太阳光照射将二氧化碳(2CO)和水(2HO)转化成葡萄糖(6126CHO)和氧气(2O).该反应的化学反应时具有下列形式12223246126xCOxHOxOxCHO为了使反应平衡,我们必须选择恰当的1x，2x，3x及4x才能使反应式两端的碳（C）原子，氢（H）原子及氧（O）原子数目对应相等。由2CO含有一个C原子，而6126CHO含有6个C原子，故为维持平衡，必须有146xx类似地，为了平衡O原子，必须有1234226xxxx最后，为了平衡H原子，必须有24212xx如果将所有未知量移至等号左边，那么将得到一个齐次线性方程组121234246022602120xxxxxxxx显然方程组有非零解，为了使化学反应式两端平衡，必须找到一个每个分量均为正数的解1234,,,Txxxx。按通常解法我们可以取4x作为自由未知量，且有142434666xxxxxx特别地，取41x时，则1236xxx。此时化学反应式具有形式2226126666COHOOCHO交通流量问题某城市单行线如图所示,其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位:辆).（1）建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)为了唯一确定未知流量,还需要增添哪几条道路的流量统计?(3)当x4=350,确定x1,x2,x3的值.(4)若x4=200,则单行线应该如何改动才合理?提示：(1)每条道路都是单行线.(2)每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.（3）矩阵化成行最简矩阵的命令是rref(A)模型假设：（1）每条道路都是单行线（2）每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等模型建立：根据上图和上述条件，在①，②，③，④四个路口进出车辆数目分别满足500=12xx①14400300xx②23100200xx③43300xx④模型求解：根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300xxxxxxxx其增广矩阵(,)Ab1100500100-1-100011030000-11300100-1-1000101600001-1-30000000由此可得：142434100600300xxxxxx即142434100600300xxxxxx为了唯一确定未知流量，只要增添4x统计的值就可以了当4350x时，确定123250,250,50xxx当4200x，则123100,400,1000xxx，这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理。模型分析：由（A，b)的行最简形可见,上述方程组中的最后一个方程组是多余的.这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计。几何应用设矩阵111222333abcabcabc111222333abcabcabc满秩，试判断两直线3331121212:xaybzcLaabbcc与1112232323:xaybzcLaabbcc的关系。解：将,,iiiiaabc视为空间中三点(1,2,3)iMi对应的向量，由空间解析几何中关于三向量混合积的几何意义知，直线1L与2L共面的充要条件是122331,,aaaaaa三向量共面（线性相关）。很明显，122331()()()0aaaaaa，故1L与2L共面。而令112223()()0kaakaa，由题设矩阵满秩，即123,,aaa线性无关得，120kk，即12aa与23aa线性无关，亦即两向量1223,aaaa不平行，因此1L与2L相交。