概率论与数理统计第10讲427

1概率论与数理统计第十一讲第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是eS，设eXX和eYY是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量YX,，叫做二维随机向量或二维随机变量。二维随机变量YX,的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量之间的相互关系。因此，需要将两个随机变量YX,作为一个整体来进行研究。我们同样需要用分布函数来研究二维随机变量的统计特性。定义：设YX,是二维随机变量，对于任意实数yx,，二元函数yYxXPyYxXPyxF,,称为二维随机变量YX,的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。如果将二维随机变量YX,看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数yxF,在yx,处的函数值就是随机点YX,落在以点yx,为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。根据这一含义，我们可以算出随机点YX,落在矩形域的概率112112222121,,,,,yxFyxFyxFyxFyyyxxxP分布函数yxF,具有以下基本性质：（1）yxF,是变量yx,的不减函数，即对于任意固定的y，当12xx时，yxFyxF,,12；对于任意固定的x，当12yy时，12,,yxFyxF。（2）1,0yxF，且对任意固定的0,,yFy，对于任意固定的x，0,xF，并有1,,0,FF（该性质可结合图示说明）（3）0,,,,0,yxFyxFyxFyxF，即yxF,关于x右连续，关于y也右连续。（4）对于任意21212211,,,,,yyxxyxyx，下述不等式成立20,,,,11211222yxFyxFyxFyxF如果二维随机变量YX,全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称YX,是离散型随机变量。设二维离散型随机变量YX,所有可能取的值为,,2,1,,,jiyxii记,,2,1,,,jipyYxXPijii则由概率的定义有1,011ijijijpp称,,2,1,,,jipyYxXPijii为二维离散型随机变量YX,的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。联合分布律也可以用表格的形式来表示将YX,看成一个随机点的坐标，可以知道离散型随机变量X和Y的联合分布函数为xxyyijiipyYxXPyxF,,其中和式是对一切满足yyxxji,的ji,来求和的。与一维随机变量相似，对于二维随机变量YX,的分布函数yxF,，如果存在非负的函数yxf,使对于任意yx,有yxdudvvufyxF,,则称YX,是连续型二维随机变量，函数yxf,称为二维随机变量YX,的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。概率密度具有如下性质：XY1x2x┅ix┅1y11p2y┇jyijp┇3（1）0,yxf；（2）1,,Fdxdyyxf几何中yxfz,是空间的一个曲面。该性质表明介于它与XOY平面的空间区域的体积为1。（3）设G是xOy平面上的区域，点YX,落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP,,该性质表明所求概率为以G为底，以曲面yxfz,为顶面的柱体体积。（4）若yxf,在点yx,连续，则有yxfyxyxF,,2这个性质可以进一步推导，在yxf,的连续点处有yxfyxyxFyxyxFyyxFyxxFyyxxFyxyyYyxxXxPyxyx,,,,,,lim,lim20000这表明若yxf,在点yx,连续，则当yx,很小时yxyxfyyYyxxXxP,,即YX,落在小长方形yyyxxx,,内的概率近似等于yxyxf,。以上关于二维随机变量的讨论可以很容易推广到2nn维随机变量的情况。一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是eS，设eXXeXXnn,,11是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量nXX,,1，称为n维随机变量。对于任意n个实数nxx,,1，n元函数nnnxXxXPxxF,,,,111称为n维随机变量nXX,,1的分布函数或随机变量nXX,,1的联合分布函数。它具有4类似于二维随机变量的分布函数的性质。例1将一枚硬币抛掷三次，以X表示三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。求X和Y的联合分布律。解：一枚硬币抛掷三次有8种可能的情况。X为出现正面的次数，其可能取值为0，1，2，3。Y可能取值为1，3。则YX,的分布律为01,0PYXP813,0TTTPYXP83,,1,1TTHTHTHTTPYXP03,1PYXP83,,1,2THHHTHHHTPYXP03,2PYXP01,3PYXP813,3HHHPYXP第二节边缘分布二维随机变量YX,作为一个整体，具有分布函数yxF,。而X和Y都是随机变量，它们也都有各自的分布函数，分别记为yFxFyx,，称为二维随机变量YX,关于X和Y的边缘分布函数。边缘分布函数可以由YX,的分布函数yxF,所确定，事实上,,xFYxXPxXPxFx即只要在yxF,中，令y就能得到xFx，同理yFyYXPyYPyFy,,对于离散型随机变量，边缘分布函数为xxjijxipxFxF1,我们在第二章已经了解，已知离散型随机变量X的分布律为,2,1,kpxXPkk，可以得到X的分布函数为0123103/83/8031/8001/85xxkxxkkkpxXPxXPxF由此我们可以得到二维随机变量中X的边缘分布律,2,1,1ipxXPjiji同样，Y的分布律为,2,1,1jpyYPiijj记,2,1,1ipxXPpjijii；,2,1,1jpyYPpiijjj分别称,2,1ipi和,2,1jpj为YX,关于X和Y的边缘分布律。对于连续型随机变量YX,，设它的概率密度为yxf,，由于dxdyyxfxFxFxX,,根据概率密度的定义，X是一连续型随机变量，且其概率密度为dyyxfxfX,同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为dxyxfyfY,分别称yfxfYX,为YX,关于X和Y的边缘概率密度。说明：（1）联合分布可以确定边缘分布，但在一般情况下，边缘分布不能确定联合分布；（2）边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质。当从整体来说，边缘分布是在多维空间考察问题，而一维分布是对某分量考察问题。例1随机抛掷两颗骰子。设X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示两颗骰子出现的点数的最大值，试写出二维随机变量YX,的概率分布及X、Y的边缘分布。解：设X=1，即第一颗骰子出现1点，则第二颗骰子出现的点数的最大值为k，，故6,,2,13616161,1kkYXP设X=2，即当第一颗骰子出现2点，则当第二颗骰子出现1点或2点时，都有Y=2；而当第二颗投资出现点数3k时，有kY，故6,5,4,3,361,2;36262612,2;01,2kkYXPYXPYXP设X=3，即第一颗骰子出现3点，则当第二颗骰子出现小于等于3点时，都有Y=3；而当第二颗骰子出现的点数大于等于4（4k）时，有kY，故6,5,4,361,3;36363613,302,3;01,3kkYXPYXPYXPYXP┅┅┅6设X=6，即第一颗骰子出现6点，则无论第二颗骰子出现的点数是多少，都有Y=6，故有36666616,65,4,3,2,10,6YXPkkYXP因此，二维随机变量YX,的联合分布律如下表所示：12345611/361/361/361/361/361/36202/361/361/361/361/363003/361/361/361/3640004/361/361/36500005/361/366000006/36把上表中各列概率相加，就得到Y的边缘分布律Y123456P1/363/365/367/369/3911/36把上表中各行相加，就得到X的边缘分布律。X123456P6/366/366/366/366/396/36例3（二维正态随机变量概率密度）设二维随机变量YX,的概率密度为2222211212122212121exp121,yxxyxfyx,其中11,0,0,,2121都是常数，则称YX,为服从参数,,,,2121的二维正态分布，记为,,,,~,222121NYX。求边缘概率密度。