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13.2三角形全等的条件（一）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.图13-2-1中两个三角形的关系是()[来源:学.科.网]图13-2-1A.不全等B.它们的周长不相等C.全等D.不确定思路解析：根据三角形内角和等于180°，得180°-140°-20°=20°，两三角形有一条公共边，根据ASA可得两个三角形全等.答案：C2.在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，∠A=∠A1，若要证△ABC≌△A1B1C1，还需要()A.∠B=∠B1B.∠C=∠C1C.AC=A1C1D.以上全对思路解析：选择A项条件，根据ASA可以证明△ABC和△A1B1C1全等；选择B项条件，根据AAS可以证明△ABC和△A1B1C1全等；选择C项条件，根据SAS可以证明△ABC和△A1B1C1全等.故应选D.答案：D3.如图13-2-2，点A、C、B、D在同一直线上，AM＝CN，BM＝DN，AC＝DB.图13-2-2问：AM与CN有怎样的位置关系？解：AM∥CN.理由：∵AC＝BD，∴AB＝CD（）.在△ABM与△CDN中，,,,AMCNBMDNABCD∴△ABM≌△CDN（）.∴∠A＝∠1（）.∴AM∥CN（）.思路解析：填写推理理由，第一个推理中用到了AC－BC＝BD－BC，是等式性质的运用.答案：等式的性质SSS全等三角形对应角相等同位角相等，两直线平行10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下面条件：①AB=DE，∠A=∠D，BC=EF；②BC=EF，AC=DF，∠C=∠F，③AB=DE，BC=EF，AC=DF.能判断△ABC≌△DEF的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③思路解析：题目给定了三角形全等的表达式，由此就确定了边角的对应关系，观察这三组条件，都是对应相等的，但①中对应元素不是两边夹角的关系.答案：B2.如图13-2-3所示，D是BC的中点，AD⊥BC，那么下列结论中错误的是()图13-2-3A.△ABD≌△ACDB.∠B=∠CC.AD为△ABC的高D.△ABC的三边相等思路解析：由D是BC中点，得BD=DC.由AD⊥BC，得∠ADB=∠ADC.又因为AD=AD，根据SAS得△ABD≌△ACD.显然∠B=∠C，AD为△ABC的高，但△ABC的三边是否相等不能确定.故选D.答案：D[来源:学_科_网]3.在下面证明中，填写需补充的条件或理由，使结论成立.已知：如图13-2-4，OA=OC，OD=OB.求证：∠A=∠C.图13-2-5证明：在△AOD和△COB中，()____(______),____________(),OAOCAOD已知已知∴△AOD≌△COB（___________）.∴∠A=∠__________（_________）.答案：COB对顶角相等ODOBSAS∠C全等三角形的对应角相等[来源:Zxxk.Com]4.如图13-2-5所示，已知∠BDC=∠ACD，∠ADB=∠BCA，求证：△ADC≌△BCD.图13-2-5思路解析：要善于把隐藏的条件找出来，把间接的条件转化为可以直接利用的条件.由已知可以用ASA公理证明.证明：因为∠BDC=∠ACD，∠ADB=∠BCA，所以∠BDC+∠ADB=∠ACD+∠BCA，即∠ADC+∠BCD.在△ADC和△BCD中，∠ACD=∠BDC，CD=DC，∠ADC=∠BCD，所以△ADC≌△BCD（ASA）.5.如图13-2-6所示，在△ABC中，已知AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，延长AC到E，使CE=AC，连结CD、BE，求证：CD=BE.图13-2-5[来源:学.科.网]思路解析：证明两条线段相等，常常先证明这两条线段所在的两个三角形全等，再利用其对应边相等证出线段的关系.证明：因为AB=AC，BD=AB，CE=AC，则有∠ABC=∠ACB，BD=CE，所以∠DBC=∠ECB（同角的补角相等）.在△BCD和△CBE中，BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，所以△BCD≌△CBE（SAS）.所以CD=BE（全等三角形的对应边相等）.快乐时光[来源:学科网ZXXK]一位挑剔的顾客来到一个小食品店，看到新送来的一批新鲜水果，他对售货员说：“给我两公斤橙子，并用纸把每个橙子分别包起来.”她照办了.“请再来3公斤樱桃，也用纸把每个都包起来.”她照办了.[来源:学。科。网]“那边是什么？”他指着角落里的一个圆篮子问.“葡萄干.”售货员答到，“不过那些不卖.”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如图13-2-7，已知AB＝AD，BE＝DE.求证：AE平分∠DAB.图13-2-7思路解析：观察△ABE与△ADE，已知条件中有两条边对应相等，图形中还包含一个隐藏条件，它们的公共边AE是相等的，用SSS可证明它们全等，根据全等三角形的性质得到它们的对应角相等（∠BAE=∠DAE）.证明：在△ABE与△ADE中，∵,,,ABADAEAEBEDE∴△ABE≌△ADE.∴∠BAE=∠DAE.∴AE平分∠DAB.2.如图13-2-8，已知AB＝CD，AD＝BC.问：∠A与∠C相等吗？为什么？图13-2-8思路分析：图形是一个四边形，有两对边对应相等，一般通过连结对角线，把四边形转化为三角形问题，证∠A与∠C所在的三角形全等.解：∠A=∠C.理由：连结BD，[来源:Z+xx+k.Com]在△ABD与△CDB中，∵,,,ABCDADBCBDDB∴△ABD≌△CDB（SSS）.∴∠A=∠C.3.如图13-2-9，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，BE与CD相等吗？为什么？图13-2-9思路分析：这里∠DAC与∠EAB公共一部分，由∠1=∠2得到它们相等，再用“SAS”证得△ABE≌△ACD.解：相等.∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠EAB.[来源:Z*xx*k.Com]在△ABE与△ACD中，∵,,,AEADBAECADABAC[来源:Zxxk.Com]∴△ABE≌△ACD（SAS）.∴BE=CD.4.如图13-2-10，已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠D=∠ECA，EC=FD，求证：AE=BF．图13-2-10思路解析：已知条件中AB=CD，根据等式性质可以得到AC=BD，根据SAS可以证明△AEC≌△BFD，由全等三角形的性质得到AE=BF.证明：∵AB=CD，∴AC=BD.在△AEC与△BFD中，,,,ECFDECADACBD∴△AEC≌△BFD（SAS）.∴AE=BF.5.如图13-2-11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.求证：DE⊥AB.图13-2-11思路解析：根据SSS，可以证明△AED≌△BCD，从而∠AED=∠C=90°.证明：在△AED与△BCD中，∵,,,ADBDAEBCDEDC∴△AED≌△BCD（SSS）.∴∠AED=∠C=90°.∴DE⊥AB.6.春天，小东做了一个如图13-2-12所示的风筝.他想去验证∠B与∠C是否相等，手头只有一把足够长的尺子，你能帮他想个办法吗？说明你这样做的理由.图13-2-12思路分析：这是一个实际问题，需要把它抽象成数学模型，用数学的知识去解决.要判定∠B与∠C相等，需验证△ABD≌△ACD.因此可用尺子去测量AB、AC、BD、CD的长度，利用“边边边”定理去判定.解：用尺子测量线段AB、AC、BD、CD的长，若AB＝AC，BD＝CD同时成立，则∠B＝∠C，否则∠B≠∠C.[来源:学§科§网Z§X§X§K]理由：若AB＝AC，BD＝CD，则在△ABD与△ACD中，∵,,,ABACBDCDADAD∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）.7.如图13-2-13，△ABC是一房屋人字架，其中AB＝AC，为使人字架更加坚固，房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD，可木工却不知将D点钉在BC何处才能使AD⊥BC，请同学们帮帮他，并说明理由.图13-2-13思路分析：要使AD⊥BC，则必须∠ADB=∠ADC=90°，观察△ABD与△ACD中，已知两边和一公共边都对应相等，根据SSS，可以证得它们是全等形.解：将D点钉在BC的中点处.∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB=∠ADC.∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°.∴AD⊥BC.8.如图13-2-14，要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）.图13-2-14思路分析：构造一个以AB为边长的三角形，把AB转化到与已知三角形全等的另一个三角形的对应边中，因此解决问题的方案是构造三角形.解：（1）测量图案如图所示.（2）测量步骤：先在陆地上找到一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测CD的长为a，则AB的长就是a.（3）由(2)题易证△AOB≌△COD，所以AB=CD，测量CD的长即可得AB的长.