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第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与垂直有关的命题判断1,2,3直线与平面垂直的判定与性质4,7,9平面与平面垂直的判定与性质5,10,13垂直关系的综合问题11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是(D)(A)直线l与平面α内的任意一条直线垂直(B)过直线l的任意一个平面与平面α垂直(C)存在平行于直线l的直线与平面α垂直(D)经过直线l的某一个平面与平面α垂直解析:若直线l垂直于平面α,则经过直线l的某一个平面与平面α垂直,当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时,直线l垂直于平面α不一定成立,所以“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件.故选D.2.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为(B)(A)过点P垂直于平面α的直线平行于平面β(B)过点P垂直于直线l的直线在平面α内(C)过点P垂直于平面β的直线在平面α内(D)过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析:由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.3.(2018·岳阳模拟)已知α,β表示平面,m,n表示直线,m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论:①∀n⊂α,n⊥β;②∀n⊂β,m⊥n;③∀n⊂α,m∥n;④∃n⊂α,m⊥n.则上述结论中正确的个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α,n⊥β或n,β斜交或n∥β,①不正确;∀n⊂β,m⊥n,②正确;∀n⊂α,m∥n或m,n相交或互为异面直线,③不正确;④正确.故选B.4.如图所示,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么(C)(A)PA=PBPC(B)PA=PBPC(C)PA=PB=PC(D)PA≠PB≠PC解析:因为在Rt△ABC中,M为斜边的中点,所以MB=MC=MA.又因为PM垂直于△ABC所在平面,所以PB=PC=PA.5.(2018·锦州模拟)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是(D)(A)AD⊥平面BCD(B)AB⊥平面BCD(C)平面BCD⊥平面ABC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,从而平面ABC⊥平面ADC.6.(2018·开封模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(A)(A)(B)1(C)(D)2解析:设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.7.(2018·鄂尔多斯模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是.解析:由正方体的性质知,AC⊥BD,BB1⊥AC,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,所以EF⊥BD,EF⊥BB1,又BD∩BB1=B,所以EF⊥平面BB1O.答案:垂直8.(2018·临汾模拟)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.解析:因为PC⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PC⊥CM.所以PM=.要使PM最小,只要CM最小,此时应有CM⊥AB.因为AB=8,∠ABC=60°,∠ACB=90°.所以BC=AB=4,AC=4.所以CM==2.所以PM==2.即PM的最小值为2.答案:2能力提升(时间:15分钟)9.(2018·泉州质检)如图,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是(D)解析:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线BD1⊥平面EFMNQG,选项A,B,C中的平面均与平面EFMNQG重合,只有D中平面EFG不与该平面重合,故选D.10.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有(写出全部正确命题的序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.解析:由AB=CB,AD=CD知AC⊥BE,AC⊥DE,从而AC⊥平面BDE,故③正确.其他均不正确.答案:③11.(2018·南宁模拟)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥DABC中,给出下列三个命题:①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥DABC的体积是.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)解析:取AC的中点O,连接OD,OB.则AC⊥OD,AC⊥OB,所以∠BOD=90°,所以BD=1=CD=BC,故①正确;易知AC⊥平面BOD,所以AC⊥BD,故②正确;=××1×1×=,故③不正确.答案:①②12.(2018·宿迁模拟)假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的是.(把你认为正确的条件序号都填上)解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.答案:①③13.(2018·全国Ⅲ卷)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.14.四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明:取AC中点O,连接OD,OB,因为AD=CD,O为AC中点,所以AC⊥OD,又因为△ABC是等边三角形,所以AC⊥OB,又因为OB∩OD=O,所以AC⊥平面OBD,又BD⊂平面OBD,所以AC⊥BD.(2)解:设AD=CD=2,所以AC=2,AB=CB=2,又因为AB=BD,所以BD=2,所以△ABD≌△CBD,所以AE=EC,又因为AE⊥EC,AC=2,所以AE=EC=2,在△ABD中,设DE=x,根据余弦定理cos∠ADB==,所以=.解得x=,所以点E是BD的中点,则=,所以=1.